Западно-Китайская математическая олимпиада, 2002 год


Задача №1.  Найдите все натуральные $ n$, для которых $ n^4-4n^3+22n^2-36n+18$ — точный квадрат.
комментарий/решение
Задача №2.  Пусть $ O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ ABC$. Точка $ P$ лежит внутри треугольника $ AOB$. Точки $ D,E,F$ являются проекциями $ P$ на стороны $ BC,CA,AB$, соответственно. Докажите, что параллелограмм, в котором отрезки $ FE$ и $ FD$ являются соседними сторонами, лежит целиком внутри треугольника $ ABC$.
комментарий/решение
Задача №3.  Рассмотрим квадраты на комплексной плоскости, обладающие следующим свойством: комплексные числа, соответствующие вершинам квадрата, являются корнями многочлена $ x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s$ с целыми коэффициентами. Найдите наименьшую возможную площадь такого квадрата.
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть $ n$ — натуральное число, $ A_{1},A_{2},\ldots,A_{n + 1}$ — непустые подмножества $ \{1,2,\ldots,n\}$. Докажите, что существуют два непересекающихся непустых подмножества $ \{1,2,\ldots,n + 1\}$: $ \{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\}$ и $ \{j_{1},j_{2},\ldots,j_{m}\}$ таких, что $ A_{i_{1}}\cup A_{i_{2}}\cup\ldots\cup A_{i_{k}} = A_{j_{1}}\cup A_{j_{2}}\cup\ldots\cup A_{j_{m}}$.
комментарий/решение
Задача №5.  Дана трапеция $ ABCD$, в которой $ AD\parallel BC.$ Точка $ E$ движется по стороне $ AB.$ Пусть $ O_{1},O_{2}$ — центры описанных окружностей треугольников $ AED,BEC$, соответственно. Докажите, что длина отрезка $ O_{1}O_{2}$ постоянна.
комментарий/решение
Задача №6.  Дано натуральное $ n$. Найдите все последовательности целых чисел $ (a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$, удовлетворяющие следующим условиям:
(i) $ a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\ge n^2$;
(ii) $ a_{1}^2+a_{2}^2+\ldots+a_{n}^2\le n^3+1$.
комментарий/решение
Задача №7.  Предположим, что $ \alpha$ и $ \beta$ — два корня уравнения $ x^2-x-1=0$. Пусть $ a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$ для $ n=1, 2, \ldots$.
а) Докажите, что для любого натурального $ n$ верно равенство $ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$.
б) Найдите все натуральные числа $ a$ и $ b$ такие, что $ a < b$ и $ b \mid a_n-2na^n$ при любом натуральном $ n$.
комментарий/решение
Задача №8.  Пусть $ S=(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ — самая длинная последовательность из нулей и единиц, удовлетворяющая следующему условию: пятиэлементные подпоследовательности $ S$ попарно различны, т.е. для любых $ 1\le i < j\le n-4$, $ (a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i+3}, a_{i+4})$ и $ (a_j, a_{j+1}, a_{j+2}, a_{j+3}, a_{j+4})$ не равны. Докажите, что первые и последние четыре члена последовательности совпадают.
комментарий/решение