қазақша
русский2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, третья лига, 11-12 классы
Задача №1. Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно, пересекаются в точках $A$ и $B$. Точка $X$ лежит на $\omega_2$, а точка $Y$ лежит на $\omega_1$ так, что $\angle{XBY}=90^\circ$. Пусть $X'$ вторая точка пересечения прямой $O_1X$ и окружности $\omega_2$, а $K$ вторая точка пересечения прямой $X'Y$ и окружности $\omega_2$. Докажите, что $X$ — середина дуги $AK$ окружности $\omega_2$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В окружность $\omega$ с центром $O$ вписан правильный треугольник $ABC$. Пусть $P$ — точка дуги $BC$. Касательная прямая к $\omega$ в точке $P$ пересекает продолжения прямых $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle{KOL} > 90^\circ$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Через точку $H$ проведены две взаимно перпендикулярные прямые $l_1$ и $l_2$. Прямая $l_1$ пересекает сторону $BC$ и продолжение отрезка $AB$ в точках $D$ и $Z$ соответственно. А прямая $l_2$ пересекает сторону $BC$ и продолжение отрезка $AC$ в точках $E$ и $X$ соответственно. Пусть $Y$ — точка плоскости такая, что $YD\parallel AC$ и $YE\parallel AB$. Докажите, что $X, Y, Z$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Дан треугольник $ABC$. Окружность с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает прямую $AC$ в двух точках. Также окружность с центром в точке $A$ и радиусом $AC$ пересекает прямую $AB$ в двух точках. Обозначим эти четыре точки через $A_1, A_2, A_3, A_4$. Аналогично определим четверки точек $B_1, B_2, B_3, B_4$ и $C_1, C_2, C_3, C_4$. Пусть эти 12 точек лежат на двух окружностях. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены прямоугольники $ABA_1B_2$, $BCB_1C_2$, $CAC_1A_2$. Пусть $C'$ — точка плоскости такая, что $C'A_1\perp A_1C_2$ и $C'B_2\perp B_2C_1$. Точки $A'$ и $B'$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $AA'$, $BB'$, $CC'$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение
комментарий/решение