3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, третья лига, 11-12 классы


Задача №1.  Окружности $\omega$ и $\omega'$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Касательная к окружности $\omega$, проходящая через точку $A$, пересекает окружность $\omega'$ в точке $C$. Касательная к окружности $\omega'$, проходящая через $A$, пересекает $\omega$ в точке $D$. Прямая $CD$ пересекает окружности $\omega$ и $\omega'$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Перпендикуляр из точки $E$ к прямой $AC$ пересекает $\omega'$ в точке $P$; перпендикуляр из точки $F$ к прямой $AD$ пересекает $\omega$ в точке $Q$; Точки $A$, $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $CD$. Докажите, что точки $A$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $AD$, $M$ середина стороны $AC$. На плоскости отметили точку $X$ такую, что $\angle AXB=\angle DXM=90^{\circ}$ ($X$ и $C$ лежат по разные стороны от $BM$). Докажите, что $\angle XMB=2\angle MBC $.
комментарий/решение
Задача №3.  Продолжения сторон $AD$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Точка $A$ лежит между $D$ и $P$. $I_1$ и $I_2$ — центры вписанных окружностей треугольников $PAB$ и $PDC$ соответственно. Пусть $O$ -- центр описанной окружности треугольника $PAB$, а $H$ — ортоцентр треугольника $PDC$. Докажите, что описанные окружности треугольников $AI_1B$ и $DHC$ касаются тогда и только тогда, когда касаются описанные окружности треугольников $AOB$ и $DI_2C$.
комментарий/решение
Задача №4.  Продолжения сторон $AB$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$ , продолжения сторон $AD$ и $BC$ — в точке $F$. Точка $A$ лежит между $B$ и $E$, а также между $D$ и $F$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Окружность $\omega_1$ проходит через точку $D$ и касается прямой $AC$ в точке $P$. Окружность $\omega_2$ проходит через точку $C$ и касается прямой $BD$ в точке $P$. Пусть $X$ — точка пересечения окружности $\omega_1$ и прямой $AD$, а $Y$ — точка пересечения окружности $\omega_2$ и прямой $BC$. Пусть $Q$ — вторая точка пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Докажите, что перпендикуляр из точки $P$ к прямой $EF$, проходит через центр описанной окружности треугольника $XQY$.
комментарий/решение
Задача №5.  Cуществуют ли шесть точек плоскости $X_1$, $X_2$, $Y_1$, $Y_2$, $Z_1$, $Z_2$ таких, что треугольники $X_iY_jZ_k$ подобны для всех наборов $i,j, k$, $1 \leqslant i, j, k \leqslant 2$?
комментарий/решение