Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2017 год


Задача №1.  Функции $f$ и $g$ определены на множестве всех целых чисел из промежутка $[-100; 100]$ и принимают целые значения. Докажите, что для некоторого целого $k$ число решений уравнения $f(x)-g(y)=k$ нечётно. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2.  Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом. Точка $Q$ на отрезке $PC$ выбрана так, что $AP=QC$. Докажите, что периметр треугольника $BQD$ не меньше чем $2AC$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение
Задача №3.  В стране любые два города соединены либо прямым автобусным, либо прямым авиасообщением. Клика — это набор городов, попарно соединенных авиарейсами. Клюка — это набор городов, попарно соединенных прямыми авиарейсами, и при этом таких, что из них выходит поровну автобусных рейсов. Кляка — это набор городов, попарно соединенных прямыми авиарейсами, и при этом таких, что из любых двух из них выходит разное число автобусных рейсов. Докажите, что размер любой клики не превосходит произведения размеров максимальной (по количеству городов) клюки и максимальной кляки. ( Y. Caro, P. Borg )
комментарий/решение
Задача №4.  В прямоугольном треугольнике все стороны рациональны, а площадь равна $S$. Докажите, что существует прямоугольный треугольник, не равный исходному, у которого все стороны рациональны и площадь равна $S$. ( S. Chan )
комментарий/решение
Задача №5. В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. На основании $BC$ выбрана точка $D$, а на боковой стороне $AB$ — точка $E$ так, что $AE={1\over 2}AL=CD$. Докажите, что $LE = LD$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение
Задача №6.  Обозначим через $\sigma(n)$ сумму натуральных делителей числа $n$. Дано натуральное число $N=2^r b$, где $r$ и $b$ натуральные числа, причем $b$ нечетно. Известно, что $\sigma(N)=2N-1$. Докажите, что числа $b$ и $\sigma(b)$ взаимно просты. ( J. Dris, J. Antalan )
комментарий/решение
Задача №7.  Равносторонний треугольник со стороной 20 разбит тремя семействами параллельных прямых на 400 равносторонних треугольничков со стороной 1. Какое наибольшее количество этих треугольничков можно пересечь (во внутренних точках) одной прямой? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)
Задача №8.  Дан граф с вершинами $A_1$, $A_2$, $ \dots$, $A_{2017}$, $B_1$, $B_2$, $\dots$, $B_{2017}$ и ребрами $A_iB_i$, $A_iA_{i+1}$, $B_iB_{i+17}$ (в циклической нумерации). Верно ли, что при любом начальном расположении в вершинах графа 4 полицейских смогут поймать вора? (Сначала делает ход каждый полицейский, потом вор, потом снова полицейские, потом снова вор и т.д. Ход состоит в том, что персонаж либо остается в той вершине, где был, либо перемещается в соседнюю вершину. Все видят, где находятся остальные, полицейские могут координировать свои действия. Вор пойман, если он окажется в одной вершине с полицейским.) ( T. Ball, M. Hanson-Colvin, R. Bell, N. Schonsheck, J. Guzman )
комментарий/решение
результаты