Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасы, Варна, Болгария, 2017 жыл

Есеп №1. Қатар келген алты натурал сандарың қандай да бір $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ орын алмасуы үшін $ab+cd=ef$ теңдігі орындалатындай алтын сандарды табыңыздар.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. Өзара әртүрлі натурал $x,$ $y$ және $z$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $(x+y+z)(xy+xy+yz-2)\ge 9xyz$. Қандай $x,$ $y$ және $z$ сандары үшін теңдік орындалады?
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. Центрі $O$ нүктесі болатын $\Gamma $ шеңбердің ішіне сүйірбұрышты $ABC(AB\ne BC)$ үшбұрышы сызылған. $AD\bot BC$ болатындай, $\Gamma $ шеңберінің бойында $D$ нүктесі табылсын, ал $M$ нүктесі $BC$ қабырғасының ортасы болсын. $BDCT$ параллелограмм болатындай және $\angle BQM=\angle BCA,$ $\angle CQM=\angle CBA$ болатындай, $BC$ қабырғасының бір жағында жататын T және $Q$ нүктелерін қарастырайық. $AO$ түзуі $\Gamma $ шеңберін $E(E\ne A)$ нүктесінде қисын, ал $ETQ$ шеңберіне сырттай салынған шеңбер $\Gamma $ шеңберін $X\ne E$ нүктесінде қисын. $A,$ $M$ және $X$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Жазықтықта дұрыс $2n$ бұрышы бар $P$: ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{2n}}$, $n$ — натурал сан болатын, көпбұрышы берілсін. Егер $SE$ кесіндісінде, $P$ көпбұрышының бойындағы $S$ нүктесінен басқа нүктелер орналаспаса, $P$ көпбұрышынан тыс жатқан $E$ нүктесінен, $P$ қабырғасының бір жағында орналасқан $S$ нүктесі көрінеді деп айтайық. Әрбір түс кем дегенде бір рет пайдаланатындай, $P$ қабырғасындағы нүктелерді ($P$ қабырғасының төбелері түссіз қалады) үш түске бояйық. Сонымен қатар, $P$ көпбұрышынан тыс орналасқан әрбір нүктеден, $P$ қабырғаларындағы екі немесе екіден көп түске боялған нүктелер көрінеді. Барлық мүмкін $P$ көпмүшесінің боялу санын табыңыз (Егер кем дегенде бір қабырға әртүрлі түске боялса, көпбұрыштың екі түрлі боялуы әртүрлі болып есептеледі).
комментарий/решение(1)

---