Республиканская олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс

Задача №1.  Можно ли числа $1$, $2$, $\ldots$, $2017$ разбить на три непустых множества $A$, $B$ и $C$ так, что для любых $a\in A$, $b\in B$ и $c\in C$ числа $ab+c$ и $ac+b$ не являлись точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Натуральное число $a$ и простое $p$ таковы, что НОД$(a,p!)=1$. Докажите, что ${{a}^{(p-1)!}}-1$ делится на $p!$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(4)

---

Задача №3.  На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены прямоугольники равных площадей $ABLK$, $BCNM$ и $CAQP$. Пусть $X$, $Y$ и $Z$ середины отрезков $KQ$, $LM$ и $NP$ соответственно. Докажите, что прямые $AX$, $BY$ и $CZ$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$ с центром $O$. Продолжение биссектрисы $CN$ пересекает $\omega$ в точке $M$. Пусть $MK$ — высота треугольника $BCM$, $P$ — середина отрезка $CM$, а $Q$ — точка пересечения прямых $OP$ и $AB$. Пусть прямая $MQ$ во второй раз пересекает $\omega$ в точке $R$, а $T$ — точка пересечения прямых $BR$ и $MK$. Докажите, что $NT \parallel PK$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

---

Задача №5.  Пусть $a$ и $b$ такие действительные числа, что $\left| 3{{a}^{2}}-1 \right|\le 2b$ и $\left| 3{{b}^{2}}-2 \right|\le a$. Докажите, что ${{a}^{4}}+{{b}^{3}}\le 2$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6)

---

Задача №6.  В каждую клетку таблицы $100\times 100$ записано одно из чисел $1,2,\ldots,100$, причем каждое из этих чисел встречается в таблице 100 раз. Назовем линией любую строку или столбец таблицы. За один ход разрешается взять линию, в котором сумма чисел больше 100, и обнулить все числа на этой линии. Какое наибольшее количество ненулевых чисел может остаться в таблице, если известно, что после нескольких ходов во всех линиях сумма чисел не превосходит 100? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

---