қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2016 жыл
Есеп №1. $\left( {{a}_{n}} \right)$ тізбегі, ${{a}_{1}}=0$ және ${{a}_{n+1}}=\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots+{{a}_{n}}}{n}+1$ шарттары бойынша берілсін. ${{a}_{2016}} > \dfrac{1}{2}+{{a}_{1000}}$ екенін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Торлы жазықтықтың бір торшасында кіші куб тұр. Кіші кубтің әрбір қырында төрт бағыттың біреуі бойынша, қырларға параллель сызықтар салынған. Антон кіші кубтың үстіңгі қырындағы көрсетілген сызықтың бағытында, қабырға бойынша кіші кубты айналдырады. Кіші куб $5\times 5$ шаршысын белгілемейтінін дәлелдеңіз.
(
А. Чухнов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрыштың $AA_1$, $BB_1$, және $CC_1$ биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. ${{A}_{0}}$, ${{B}_{0}}$, ${{C}_{0}}$ нүктелері, сәйкесінше $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларының орталары. $\angle {{A}_{0}}{{B}_{2}}{{A}_{2}}=\angle {{B}_{0}}{{C}_{2}}{{B}_{2}}=\angle {{C}_{0}}{{A}_{2}}{{C}_{2}}=90{}^\circ $ болатындай, $AH$, $BH$ және $H{{C}_{1}}$ кесінділері бойында ${{A}_{2}}$, ${{B}_{2}}$, ${{C}_{2}}$ нүктелері алынған. $A{{C}_{2}}$, $B{{A}_{2}}$ және $CB_2$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
(
А. Пастор
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Әрбір натурал $k$ үшін, $0\le x\le y\le z$ болатындай, теріс емес нақты $x$, $y$, $z$ сандарында берілген ${{8}^{k}}={{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz$ теңдеуінің шешім санын анықтаңыз.
(
В. Шевелёв
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Жай $p$ және $q$ сандарының қатынасы екіден артық емес. Біреуінің ең үлкен жай бөлгіші $p$, ал екіншісінің ең үлкен жай бөлгіші $q$ болатын, қатар келе жатқан екі натурал сан табылатынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $a$, $b$, $c$, $d$ сандары $0 < a\le b\le d\le c$ және $a+c=b+d$ шарттарын қанағаттандырады. Ұзындығы $a$ болатын кесіндінің ішінде орналасқан $P$ нүктесі үшін, қабырғалары $a$, $b$, $c$, $d$ болатын төртбұрыштың бір қабырғасы $a$ екенін дәлелдеңіз, егер осы төртбұрышқа іштей сызылған шеңбер $P$ нүктесі арқылы өтсе.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $x,y,z > \dfrac{3}{2}$ үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіз: ${{x}^{24}}+\sqrt[5]{{{y}^{60}}+{{z}^{40}}}\ge {{\left( {{x}^{4}}{{y}^{3}}+\dfrac{1}{3}{{y}^{2}}{{z}^{2}}+\dfrac{1}{9}{{x}^{3}}{{z}^{3}} \right)}^{2}}$.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Байланысқан граф берілсін. Әрбір екі төбе, белгіленген қабырғалар құрайтын жол арқылы байланысатындай және әрбір белгіленген қабырға, түстері әртүрлі төбелерді қосатындай және ешқандай екі жасыл түсті төбе осы графтың қабырғаларымен байланыспайтындай, осы графтың барлық төбелерін жасыл және көк түске бояп, ал кейбір қабырғаларды белгідеуге болатынын дәлелдеңіз.
(
В. Дольников
)
комментарий/решение
комментарий/решение