Математикадан 33-ші Балкан олимпиадасы, Тирана, Албания, 2016 жыл

Есеп №1. Кез келген $x$ нақты саны және $n$ натурал саны үшін $ \left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right| < 2016$ теңсіздігі орындалатындай барлық $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ инъективті функцияларын табыңыздар.
Ескерту; $f$ функциясын инъективті деп атаймыз, егер $f(x_1)=f(x_2)$ тек және тек сонда ғана $x_1=x_2$ болғанда.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. $AB < CD$ болатын шеңберге іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышы берілген. Төртбұрыштың диагоналдары $F$ нүктесінде қиылысады, ал $AD$ және $BC$ түзулері $E$ нүктесінде қиылысады. $K$ және $L$ нүктелері $F$ нүктесінен сәйкесінше $AD$ және $BC$ түзулеріне түсірілген перпендикуляр табаны болсын. $M$, $S$ және $T$ нүктелері арқылы сәйкесінше $EF$, $CF$ және $DF$ кесінділерінің орталарын белгілейік. $MKT$ және $MLS$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер қиылысу нүктелерінің бірі $CD$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Бас коэффициенті 1-ге тең және келесі қасиеттерге ие барлық бүтін коэффициентті $f(x)$ функцияларын табыңыздар: кез келген $p > N$ жай саны үшін $f(p)$ мәні оң болып және $2(f(p)!)+1$ саны $p$ санына бөлінетіндей натурал $N$ саны табылады.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Параллель түзулердің екі тобы арқылы жазықтық шексіз тор құратындай бірлік квадраттарға бөлінген. Қабырғалары сызық бойында жататын, периметрі 100-ге тең кез келген тіктөртбұрыштың ішінде бір түсті екі квадрат кездеспейтіндей, әрбір бірлік квадрат түрлі 1201 түстің біреуіне боялған. Қабырғалары сызық бойында жататын $1 \times 1201$ немесе $1201 \times 1$ өлшемді тіктөртбұрыштардың ешбірінің ішінде бір түсті екі бірлік квадрат болмайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

результаты