Математикадан республикалық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. Тор $n \times n$ тақтасын (бұл жерде $n \geq 2$) үш бірлік шаршыдан құралған бұрыштармен келесі шарттар орындалатындай жабамыз (бұрышты шексіз рет $90{}^\circ $-қа бұрса болады):
1) тақтаның кез келген шаршысы кемінде бір бұрышпен жабылған.
2) бір бұрышпен жабылып тұрған ортақ қабырғасы бар екі шаршы, бір уақытта одан басқа шаршымен жабылмаған.
Тақтаны ең көп дегенде қанша шаршымен жабуға болады? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(3)

---

Есеп №2. $n!+10^{2014}=m^4$ теңдеуін натурал сандар жүйесінде шешіңіздер. ( Ким А. )
комментарий/решение(6)

---

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышына сырттай $\omega$ шеңбер сызылған, ал $I$ нүктесі — осы үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі. $CI$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $P$ нүктесінде қияды. Диаметрі $IP$ болатын шеңбер, $AI$, $BI$ және $\omega$-ны екінші рет сәйкесінше $M$, $N$ және $K$ нүктелерінде қияды. $KN$ және $AB$ кесінділері $B_1$, ал $KM$ және $AB$ кесінділері $A_1$ нүктесінде қиылыссын. $\angle ACB = \angle A_1IB_1$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында ең үлкен $C$ бұрышынан $CH$ биіктігі түсірілген. $HM$ және $HN$ — сәйкесінше $ACH$ және $BCH$ үшбұрыштарының биіктіктері, ал $HP$ және $HQ$ — сәйкесінше $AMH$ және $BNH$ үшбұрыштарының биссектрисалары. $R$ нүктесі — $H$ нүктесінен $PQ$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. $R$ нүктесі — $MNH$ үшбұрышының биссектрисаларының қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Кез келген натурал $n$ үшін, ${{F}_{n}}-p\left( n \right)$ саны $m$-ге бөлінетіндей, $m\ge 2$ натурал саны және коэффициенттері бүтін болатын $p\left( x \right)$ көпмүшесі табылады ма? Бұл жерде $\left( {{F}_{n}} \right)$ — келесі шарттармен анықталатын Фибоначчи тізбегі: ${{F}_{1}}={{F}_{2}}=1$ және барлық натурал $n$ үшін \[{{F}_{n+2}}={{F}_{n+1}}+{{F}_{n}}.\] ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)

---

Есеп №6. Жазықтықта 101 көк және 101 қызыл нүктелер таңдалған, және кез келген үш нүкте бір түзудің бойында жатпайды. Екі ұшы да қызыл болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары 1-ге тең (яғни $101\cdot 100/2$ кесінділер қосындысы), екі ұшы да көк болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары да 1-ге тең, ал ұштары әр түсті болатын кесінділер ұзындықтарының қосындысы 400-ге тең. Барлық қызыл нүктелер түзудің бір жағында, ал барлық көк нүктелер сол түзудің басқа жағында болатындай түзу жүргізуге болатынын дәлелдеңіз. ( Ким А. )
комментарий/решение(1)

---