Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс


Задача №1.  Клетчатую таблицу $n \times n$ (где $n \geq 2$) покрывают уголками, состоящими из трёх единичных клеток (уголок можно неоднократно поворачивать на $90{}^\circ $) так, чтобы выполнялись следующие условия:
1) каждая клетка таблицы покрыта хотя бы одним из уголков;
2) две соседние по стороне клетки, покрытые одним уголком, не могут быть одновременно покрыты другим.
Каково наибольшее возможное число уголков в таком покрытии? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Решите уравнение $n!+10^{2014}=m^4$ в натуральных числах $m$ и $n$. ( Ким А. )
комментарий/решение(6)
Задача №3.  Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$, а $I$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Прямая $CI$ пересекает $\omega$ вторично в точке $P$. Пусть окружность с диаметром $IP$ пересекает $AI$, $BI$ и $\omega$ вторично в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Отрезки $KN$ и $AB$ пересекаются в точке $B_1$, а отрезки $KM$ и $AB$ — в точке $A_1$. Докажите, что $\angle ACB = \angle A_1IB_1$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  В треугольнике $ABC$ из наибольшего угла $C$ проведена высота $CH$. Отрезки $HM$ и $HN$ — высоты треугольников $ACH$ и $BCH$ соответственно, а $HP$ и $HQ$ — биссектрисы треугольников $AMH$ и $BNH$. Пусть точка $R$ — основание перпендикуляра из точки $H$ на прямую $PQ$. Докажите, что $R$ — точка пересечения биссектрис треугольника $MNH$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Существуют ли натуральное число $m\ge 2$ и многочлен с целыми коэффициентами $p\left( x \right)$, такие, что ${{F}_{n}}-p\left( n \right)$ делится на $m$ для любого натурального $n$? Здесь $\left( {{F}_{n}} \right)$ — последовательность Фибоначчи, которая задается двумя первыми членами ${{F}_{1}}={{F}_{2}}=1$ и рекуррентным соотношением ${{F}_{n+2}}={{F}_{n+1}}+{{F}_{n}}$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)
Задача №6.  На плоскости выбраны 101 синяя и 101 красная точка, причем никакие три не лежат на одной прямой. Сумма попарных расстояний между красными точками равна 1 (то есть сумма длин отрезков с концами в красных точках), сумма попарных расстояний между синими тоже равна 1, а сумма длин отрезков с концами разных цветов равна 400. Докажите, что можно провести прямую, отделяющую все красные точки от всех синих. ( Ким А. )
комментарий/решение(1)
результаты