Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2016 год


Задача №1.  Назовем замечательным треугольник $ABC$, для которого выполнено следующее условие: пусть $D$ — произвольная точка на стороне $BC$, а $P$ и $Q$ — проекции точки $D$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно; тогда точка, симметричная точке $D$ относительно прямой $PQ$, лежит на окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Докажите, что треугольник $ABC$ является замечательным тогда и только тогда, когда $\angle A=90^\circ$ и $AB=AC$.
комментарий/решение
Задача №2. Натуральное число назовем чудесным, если оно может быть представлено в виде \[{{2}^{{{a}_{1}}}}+{{2}^{{{a}_{2}}}}+\ldots +{{2}^{{{a}_{100}}}},\] где ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{100}}$ — неотрицательные целые числа, не обязательно различные. Найдите наименьшее натуральное $n$ такое, что ни одно натуральное число, делящееся на $n$, не является чудесным.
комментарий/решение
Задача №3. Пусть $AB$ и $AC$ — два различных луча, не лежащих на одной прямой, и пусть $\omega $ — окружность с центром $O$, которая касается луча $AC$ в точке $E$ и касается луча $AB$ в точке $F$. Пусть $R$ — точка на отрезке $EF$. Прямая, параллельная $EF$ и проходящая через точку $O$, пересекает прямую $AB$ в точке $P$. Пусть $N$ — точка пересечения прямых $PR$ и $AC$, а $M$ — точка пересечения прямой $AB$ с прямой, параллельной $AC$ и проходящей через $R$. Докажите, что прямая $MN$ касается окружности $\omega $.
комментарий/решение
Задача №4.  В стране 2016 городов. Авиакомпания Starways хочет организовать односторонние рейсы между некоторыми парами городов так, чтобы из каждого города выходил ровно один рейс.
Найдите наименьшее натуральное $k$, удовлетворяющее условию: как бы авиакомпания ни организовала рейсы, все города можно будет разбить на $k$ групп так, что из любого города нельзя будет добраться ни до какого другого города той же группы, используя не более 28 рейсов.
комментарий/решение
Задача №5. Найдите все функции $f:{{\mathbb{R}}^{+}}\to {{\mathbb{R}}^{+}}$ такие, что равенство $$(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)$$ выполнено для всех положительных $x,y,z$. (Через ${{\mathbb{R}}^{+}}$ обозначено множество всех положительных действительных чисел.)
комментарий/решение
результаты