Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, II тур регионального этапа

Задача №1.  Три спортсмена пробежали дистанцию в $3$ километра. Первый километр они бежали с постоянными скоростями $\vartheta_1$, $\vartheta_2$ и $\vartheta_3$ соответственно, такими, что $\vartheta_1 > \vartheta_2 > \vartheta_3$. После отметки в $1$ километр каждый из них изменил скорость: первый — с $\vartheta_1$ на $\vartheta_2$, второй — с $\vartheta_2$ на $\vartheta_3$, а третий — с $\vartheta_3$ на $\vartheta_1$. Кто из спортсменов пришел к финишу последним? ( Н. Чернега )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Найдите все натуральные числа, которые можно представить в виде $\dfrac{xy+yz+zx}{x+y+z}$, где $x$, $y$ и $z$ — три различных натуральных числа. ( Д. Храмцов )
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  В ряд выложено $100$ монет. Внешне все монеты одинаковы, но где-то среди них лежат подряд $50$ фальшивых (а остальные— настоящие). Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые могут весить по-разному, но каждая фальшивая легче настоящей. Можно ли с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы $34$ настоящие монеты? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Точки $M$ и $N$ — середины биссектрис $AK$ и $CL$ треугольника $ABC$ соответственно. Докажите, что угол $ABC$ прямой тогда и только тогда, когда $\angle MBN = 45^\circ$. ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

---