қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2015 год
Задача №1. На футбольном поле тренировалось $n$ футболистов — нападающих и вратарей.
Всего на тренировке было забито $k$ голов. Докажите, что после тренировки
Фабио Капелло может так раздать номера от 1 до $n$ игрокам, что
для любого гола разность между номерами нападающего и вратаря была
не менее $n-k$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BD$. Биссектрисы углов
$ABD$ и $ACB$ перпендикулярны. Найдите наибольшее возможное значение
угла $BAC$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Многочлен $P(x,y)$ с вещественными коэффициентами таков,
что $P(x+2y, x+y)=P(x,y)$. Докажите, что для некоторого многочлена $Q(t)$
имеет место равенство $P(x,y)=Q\left((x^2-2y^2)^2\right)$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Для каждого $n$ представим число $n!$ в виде $ab^2$, где $a$ свободно от квадратов.
Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ при всех достаточно больших $n$ выполнено неравенство
$2^{(1-\varepsilon)n} < a < 2^{(1+\varepsilon)n}$.
(
М. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. К натуральному числу прибавляют его наибольший собственный делитель,
к получившемуся прибавляют его наибольший собственный делитель и т. д. Докажите, что
после выполнения нескольких операций получится число, кратное $3^{2000}$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Даны целые числа $0\leq b\leq c\leq d\leq a$, причем $a > 14$.
Докажите, что не всякое натуральное число $n$ можно записать в виде
$$
n=x(ax + b) + y(ay + c) + z(az + d),
$$
где $x$, $y$, $z$ — некоторые целые числа.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $O$ — центр описанной окружности.
Оказалось, что $R-r=OM$. Биссектриса внешнего угла при вершине $A$ пересекает
прямую $BC$ в точке $D$, а биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает
прямую $AB$ в точке $E$. Найдите все возможные значения угла $CED$.
(
Д. Ширяев
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №8. На плоскости отмечено $k(k+1)/2+1$ точек, некоторые из которых соединили непересекающимися отрезками
(в том числе ни одна из точек не лежит на отрезке, соединяющим другие точки).
Оказалось, что плоскость разбилась на параллелограммы и бесконечную область.
Какое наибольшее число отрезков могло быть проведено?
(
А. Купавский,
А. Полянский
)
комментарий/решение
комментарий/решение