Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2014 год


Задача №1.  Даны три различных простых числа. На какое наибольшее количество из них может делиться их сумма? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  На бумаге с шестиугольными клеточками отметили "параллелограмм" $k\times \ell$ клеток (он состоит из $k$ горизонтальных рядов по $\ell$ клеток в каждом; для примера на рисунке изображен параллелограмм $3\times 4$ ).

В~этом параллелограмме выбрали набор непересекающихся сторон клеток, которые разбивают все узлы на пары. Сколько вертикальных отрезков может быть в таком наборе? ( Т. Дошилич )
комментарий/решение
Задача №3.  На стороне $BC$ треугольника $ABC$ нашлись точки $K$ и $L$ такие, что $\angle BAK = \angle CAL = 90^{\circ}$. Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины $A$, середина отрезка $KL$ и центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение
Задача №4.  Положительные числа $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют условию ${1\over a}+{1\over b}+{1\over c}=3$. Докажите неравенство $$ {1\over \sqrt{a^3+1}}+{1\over \sqrt{b^3+1}}+{1\over \sqrt{c^3+1}} \leq {3\over \sqrt{2}} . $$ ( Н. Александров )
комментарий/решение
Задача №5.  Для двух квадратных трёхчленов $P(x)$ и $Q(x)$ нашлась такая линейная функция $\ell(x)$, что $P(x)=Q(\ell(x))$ при всех вещественных $x$. Сколько может быть таких линейных функций $\ell(x)$? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №6.  Радиус окружности $\omega_A$ с центром в вершине $A$ треугольника $ABC$ равен радиусу вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$. Аналогично строятся окружности $\omega_B$ и $\omega_C$. Докажите, что если какие-то две из этих окружностей касаются, то касаются любые две из них. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение
Задача №7.  На плоскости расположено $n$ чёрных и $n$ белых квадратов, каждый из которых может быть переведен в любой другой параллельным переносом. Каждые два квадрата разного цвета имеют общую точку. Докажите, что существует точка, принадлежащая хотя бы $n$ квадратам. ( В. Дольников )
комментарий/решение
Задача №8.  На левом берегу реки Лены стоят $m$ деревень, на правом — $n$ деревень, и ещё одна деревня стоит на острове. Известно, что $(m+1, n+1) > 1$. Между каждыми двумя деревнями, разделёнными водой, ходит паром с натуральным номером.
Жители каждой деревни утверждают, что все номера паромов, которые плавают в их деревню, различны, и эти номера составляют отрезок натурального ряда. Докажите, что хотя бы в одной деревне жители ошибаются. ( К. Кохась )
комментарий/решение