қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2009 жыл
Есеп №1. Үш нақты сан берілсін. Кез келген екеуінің көбейтіндісінде, бөлшек бөлім $\dfrac{1}{2}$-ге тең. Осы сандар иррационал екенін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. Алқа 100 көк түсті және бірнеше қызыл түсті моншақтардан тұрады. 8 көк моншағы бар кез келген кесіндіде кем-дегенде 5 қызыл моншақ бар. Алқада кем-дегенде неше қызыл түсті моншақтар болуы мүмкін?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $BD$ диагоналі $CX$ кесіндісін, ал $AC$ диагоналі $DX$ кесіндісін тең екіге бөлетіндей, $ABCD$ іштей сызылған төртбұрыштың $AB$ қабырғасында $X$ нүктесі табылды. $\dfrac{AB}{CD}$ шамасы қандай ең кіші мән қабылдай алады?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $\sqrt{n}$, $\sqrt{n+1}$, $\sqrt{n+2}$, $\ldots$, $\sqrt{n+999}$ сандарының ондық санау жүйесінде, үтірден кейін 200 цифрлар арасында жүз рет 0, жүз рет бірлік, \ldots, жүз рет тоғыз кездесетіндей, натурал $n$ бар ма?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Сиқыршы көрерменнен үштаңбалы $\overline{abc}$ санын ойлауын және $\overline{acb}$, $\overline{bac}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$, $\overline{cba}$ сандарының қосындысын айтуын сұрады. Ол осы қосынды арқылы ойлаған санды таба алатынын айтты. Сиқыршы өтірік айтуы мүмкін бе?
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Егер $2\times 2$ шаршысында 3 фишкадан артық фишка тұрмаса, $n\times n$ шаршысының торларындағы фишкалардың орналасуын сирек деп атайық. Фишкалардың сирек орналасуы қалыптасатындай, Сергей тақтаның кейбір торларына бір фишкадан қойды. Алайда, ол, егер кез-келген фишканы бос торға алмастырса, барлық фишкалардың орналасуы сирек болмай кететінін байқады. $n$-нің қандай мәнінде бұл мүмкін?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $ABC$ үшбұрышы берілсін. ${{B}_{1}}$ бұрышы $B$ төбесіне $AC$ түзуіне қатысты симметриялы, ал $C_1$ нүктесі $C$ нүктесіне $AB$ түзуіне қатысты симметриялы. $O_1$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центріне, $BC$ түзуіне қатысты симметриялы. $AB_1C_1$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $AO_1$ түзуінде жататынын дәлелдеңіз.
(
А. Акопян
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Келесі шарттарды қанағаттандыратын, ең үлкен $h$ санын табыңыз: кез-келген $a\in \left[ 0,h \right]$ саны үшін, $P\left( 0 \right)=P\left( 1 \right)=0$ болатындай, 99 дәрежелі кез-келген $P\left( x \right)$ көпмүшесі үшін $P\left( {{x}_{1}} \right)=P\left( {{x}_{2}} \right)$ және ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}=a$ болатындай, ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ 0,1 \right]$ табылады.
(
А. Храбров,
Д. Ростовский,
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение