қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2007 год
Задача №1. Даны два натуральных числа $a < b$. Докажите, что из любых $b$
последовательных натуральных чисел можно выбрать два числа, произведение
которых делится на $ab$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Два многочлена сотой степени
$f(x)=a_{100}x^{100}+a_{99}x^{99}+\dots+a_1x+a_0$ и
$g(x)=b_{100}x^{100}+b_{99}x^{99}+\dots+b_1x+b_0$ отличаются друг от друга
перестановкой коэффициентов. Известно, что $a_i\ne b_i$ при всех
$i=0$, 1, 2, $\dots$, 100. Может ли оказаться,
что $f(x)\geq g(x)$ при всех вещественных $x$?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$, $BB_1$ и
$CC_1$. Окружность, проходящая через точки
$A_1$ и $B_1$, касается дуги $AB$ описанной
окружности в точке $C_2$. Аналогично определяются точки
$A_2$ и $B_2$. Докажите, что прямые $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$ пересекаются в
одной точке.
(
Р. Сахипов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Найдите наибольшее вещественное $k$, для которого
существуют множество $X$ и его подмножества
$Y_1$, $Y_2$, $\dots$, $Y_{31}$, удовлетворяющие следующим двум условиям:
(1) для любых двух элементов $X$ найдется подмножество $Y_i$, не содержащее ни одного из них;
(2) при любом сопоставлении подмножествам $Y_i$ неотрицательных чисел $\alpha_i$ с суммой, равной 1, найдется такой элемент из $X$, что сумма $\alpha_i$, сопоставленных всем содержащим его подмножествам $Y_i$, не меньше $k$. ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение
(1) для любых двух элементов $X$ найдется подмножество $Y_i$, не содержащее ни одного из них;
(2) при любом сопоставлении подмножествам $Y_i$ неотрицательных чисел $\alpha_i$ с суммой, равной 1, найдется такой элемент из $X$, что сумма $\alpha_i$, сопоставленных всем содержащим его подмножествам $Y_i$, не меньше $k$. ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение
Задача №5. В какое наименьшее количество цветов можно покрасить
все положительные вещественные числа так, чтобы любые два числа,
отличающиеся в 4 или 8 раз, были покрашены в разные цвета?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$.
Точка $L$ внутри треугольника $ABC$ такова, что $BD=LD$ и
$\angle LAB=\angle LCA=\angle DCB$. Оказалось, что
$\angle ALD+\angle ABC=180^\circ$. Докажите, что
$\angle BLC=90^\circ$.
(
Р. Сахипов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. На бесконечной клетчатой плоскости стоит несколько шахматных коней.
При этом никакая клетка не находится под боем более, чем одного коня.
(В частности, клетка, на которой стоит конь, может биться другим конем, но
не двумя сразу). Саша обвел контур прямоугольника $14\times 16$. Какое
наибольшее количество коней могло попасть в этот прямоугольник?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Докажите, что существует такое положительное число $c$,
что при любом натуральном $N$
среди любых $N$ натуральных чисел, не превосходящих $2N$, найдутся два
числа, наибольший общий делитель которых больше $cN$.
(
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение