Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2006 год


Задача №1.  На катетах $AC$ и $BC$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно так, что $CD=CE$. Перпендикуляры на прямую $AE$, проходящие через точки $C$ и $D$, пересекают сторону $AB$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $BP=PQ$. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Даны 10 различных нечетных простых чисел. Может ли так случиться, что разность шестнадцатых степеней любых двух из них делится на любое из оставшихся чисел? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение
Задача №3. Дан выпуклый $n$-угольник ($n\geq 5$). Докажите, что количество треугольников площади 1 с вершинами в вершинах $n$-угольника не превосходит ${1\over 3}n(2n-5)$. ( A.Negut )
комментарий/решение
Задача №4. Сумма неотрицательных чисел $x$, $y$ и $z$ равна 3. Докажите неравенство $$ {1\over x^2+y+z} + {1\over x+y^2+z} + {1\over x+y+z^2} \leq 1 .$$ ( V.Ci.rtoaje )
комментарий/решение
Задача №5.  Квадратные трехчлены $f$, $g$ и $h$ таковы, что при каждом вещественном $x$ числа $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ являются длинами сторон некоторого треугольника, а числа $f(x)-1$, $g(x)-1$ и $h(x)-1$ не являются длинами сторон треугольника. Докажите, что хотя бы из многочленов $f+g-h$, $f+h-g$, $g+h-f$ постоянен. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №6. Палиндромическим разбиением натурального числа $A$ называется запись $A$ в виде суммы натуральных слагаемых $A = a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n$ ($n \geq 1$), в которой $a_1=a_n$, $a_2=a_{n-1}$ и вообще, $a_i=a_{n+1-i}$ при $1\leq i \leq n$. Например, $16=16$, $16=2+12+2$ и $16=7+1+1+7$ — палиндромические разбиения числа 16.
Найдите количество всех палиндромических разбиений числа 2006. ( M. Capobianco )
комментарий/решение
Задача №7.  Медиана $BM$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в точке $K$. Описанная окружность треугольника $KMC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $P$, а описанная окружность треугольника $AMK$ пересекает продолжение стороны $BA$ в точке $Q$. Докажите, что $PQ > AC$. ( А. Смирнов )
комментарий/решение
Задача №8.  Из картонного клетчатого прямоугольника $8\times 7$ вырезан уголок, состоящий из всех клеток первой строки и первого столбца (всего в нем $14$ клеток). Клетки бесконечной клетчатой плоскости покрашены в $k$ цветов так, что при любом положении картонного уголка на этой плоскости (с учетом поворотов и переворотов) все покрытые им клетки имеют разный цвет. При каком наименьшем $k$ это возможно? ( С. Берлов )
комментарий/решение