Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 10-11 классы


Задача №1.  В некотором государстве система авиалиний устроена так, что любой город соединен авиалиниями не более, чем с тремя другими городами и из любого города в любой другой город можно перелететь, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее число городов может быть в этом государстве?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть даны действительные числа $a\ge b$ и $c\ge d$. Докажите, что уравнение $(x+a)(x+d)+(x+b)(x+c)=0$ имеет хотя бы один действительный корень.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Определите количество наборов $(a,b,c,d,e,f)$ натуральных чисел, для которых справедливо $a > b > c > d > e > f$ и $$a+f=b+e=c+d=30 \ ?$$
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Докажите, что $|AB - CD| + |AD - BC| \geq 2|AC - BD|.$
комментарий/решение(2)
Задача №5.  Какое наибольшее количество ферзей можно поставить на шахматную доску так, чтобы каждый из них бил не более двух других? (Фигуры не бьют друг сквозь друга.)
комментарий/решение(1)
результаты