19-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Белград, Сербия, 2015 год


Задача №1.  Найдите все простые числа $a$, $b$, $c$ и натуральные $k$, удовлетворяющие уравнению $a^2+b^2+16c^2=9k^2+1.$
комментарий/решение
Задача №2.  Сумма трех положительных вещественных чисел $a$, $b$, $c$ равна $3$. Найдите наименьшее возможное значение выражения $$ A=\frac{2-a^3}{a}+\frac{2-b^3}{b}+\frac{2-c^3}{c}.$$
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник. Прямые $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны $AB$ и проходят через $A$ и $B$, соответственно. Перпендикуляры, опущенные из середины $M$ отрезка $AB$ на прямые $AC$ и $BC$, пересекают $l_1$ и $l_2$ в точках $E$ и $F$, соответственно. Прямые $EF$ и $MC$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что $\angle ADB = \angle EMF$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  «Уголком» называется фигура, составленная из трёх квадратов со стороной 1 в виде буквы «L».
Даны клетчатая доска $5 \times 5$, состоящая из 25 единичных клеток, и натуральное число $k \leq 25$. Двое, $A$ и $B$, играют в следующую игру: они по очереди отмечают ранее не отмеченные клетки доски (на каждом ходу по клетке), пока количество отмеченных клеток не станет равным $k$. Начинает $A$.
Хорошим размещением называется такое размещение уголков на части доски, состоящей из неотмеченных клеток, при котором любые две уголка не имеют общих клеток и при котором каждая из них покрывает ровно три неотмеченные клетки доски.
Выигрывает $B$, если любое хорошее размещение уголков оставляет непокрытыми по крайней мере три неотмеченные клетки. Найдите наименьшее $k$, для которого у $B$ есть выигрышная стратегия.
комментарий/решение
результаты