қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Нақты $a$, $b$, $c$, $d$ сандары келесі шарттарды қанағаттандырады:
i) $a \ne b$, $b\ne c$, $c\ne d$, $d\ne a$;
ii) $\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-d \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( d-a \right)}^{2}}}=1$.
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}$ өрнегінің ең кіші мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)
i) $a \ne b$, $b\ne c$, $c\ne d$, $d\ne a$;
ii) $\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-d \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( d-a \right)}^{2}}}=1$.
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}$ өрнегінің ең кіші мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы $\omega$ шеңберіне іштей сызылған. $AC$ түзуінде жатқан $D$ және $D_1$ нүктелері $AC$-ның ортасына қарағанда бір-біріне симметриялы нүктелер. $BD$ және $BD_1$ түзулері $\omega$-ны екінші рет $E$ және $E_1$ нүктелерінде қисын. Осылай анықталған барлық $EE_1$ түзулер жазықтықтың тұрақты нүктесі арқылы өтетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Барлық натурал $n$ үшін, ${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ және ${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ сандары өзара жай болатындай, натурал $a$ және $b$ сандары табылады ма?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Өлшемі $2^n \times 2^n$ ($n \ge 3$) болатын тақтадан бір шаршыны қиып алып тастаған. Қалған тақтаны үш шаршыдан құралған бұрыш фигуралармен толығымен жауып шығудың әдіс саны $3^{{4^{n-3}}}$-тен кем емес екенін дәлелде. (Ешқандай бұрыштар бір-бірін жаппайды).
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышында $M$ — $AC$ қабырғасының ортасы, ал $\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер. $\omega$-ға $B$ нүктесінде жүргізілген жанама $AC$ түзуін $N$, ал $BM$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $L$ нүктесінде қияды. $P$ нүктесі $L$ нүктесіне $M$-ге қарағанда симметриялы нүкте болсын. $BPN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер екінші рет $AN$ түзуін $Q$ нүктесінде қияды. $\angle ABP = \angle QBC$ екенін дәлелдеңдер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Есеп №6. Кез келген натурал $n$ саны үшін, $\left[ n-4\sqrt{n}, n+4\sqrt{n} \right]$ кесіндісінде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ түрінде келетін сан табылатынын дәлелде, бұл жерде $x$ пен $y$ — теріс емес бүтін сандар.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)