Математикадан 53-ші халықаралық олимпиада, 2012 жыл, Мар-дель-Плата
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышы берілген. $J$ нүктесі $A$ төбесіне сәйкес сырттай-іштей сызылған шеңбердің центрі. Осы сырттай-іштей сызылған шеңбер $BC$ кесіндісін $M$ нүктесінде, ал $AB$ және $AC$ түзулерін сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде жанайды. $LM$ және $BJ$ түзулері $F$ нүктесінде, ал $KM$ және $CJ$ түзулері $G$ нүктесінде қиылысады. $S$ — $AF$ және $BC$ түзулерінің, ал $T$ — $AG$ және $BC$ түзулерінің қиылысу нүктелері болсын.
$M$ нүктесі $ST$ кесіндісінің ортасы болатынын дәлелдеңдер.
($ABC$ үшбүрышының $A$ төбесіне сәйкес сырттай-іштей сызылған шеңбер деп $BC$ қабырғасын және $AB$ және $AC$ қабырғаларының созындыларын жанайтын шеңберді атаймыз.)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $n\ge 3$ бүтін саны және ${{a}_{2}}{{a}_{3}}\ldots {{a}_{n}}=1$ болатын ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$ оң нақты сандары берілген. ${{(1+{{a}_{2}})}^{2}}{{(1+{{a}_{3}})}^{3}}\ldots {{(1+{{a}_{n}})}^{n}} > {{n}^{n}}$ теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $A$ және $B$ ойыншылары «Өтірікті анықта» деген ойын ойнайды. Бұл ойынның ережесі $k$ және $n$ оң бүтін сандарына байланысты және бұл сандар екі ойыншыға да белгілі.
Ойын басында $A$ ойыншы $x$ және $N$ сандарын $1\le x\le N$ болатындай таңдап алады. $A$ ойыншысы $x$ санын құпияда сақтап, ал $N$ санын $B$ ойыншыға шын айтады. Осыдан кейін $B$ ойыншы $A$ ойыншыға сұрақтар қойып $x$ саны туралы мәлімет алуға тырысады. Сұрақтардың түрлері осындай: әрбір сұрақта $B$ ойыншы өз қалауынша натурал сандардан тұратын $S$ жиынын таңдап (бұл жиын алғашқы сұрақтардың бірінде кездесуі мүмкін), $x$ саны осы жиынға тиісті ме екенін $A$ ойыншыдан сұрайды. $B$ ойыншы қанша сұрақ қойғысы келсе, сонша сұрақ қоя алады. $B$ ойыншының әр сұрағына $A$ ойыншы иә немесе жоқ деп бірден жауап беруге тиіс, бірақ қанша рет болса да өтірік жауап беруіне болады; тек қана бір шектеу бар: кез келген $k+1$ қатар келетін жауаптардың ішінде кемінде бір шын жауап болуы тиіс.
$B$ өзі қажет деп санаған сұрақтар қойғаннан кейін элементтер саны $n$-нен көп емес натурал сандардан тұратын $X$ жиынын көрсетуі тиіс. Егер $x$ ол $X$ жиынына тиісті болса, онда ойыншы $B$ жеңеді; басқа жағдайда $B$ жеңіледі. Дәлелдеңдер:
1. Егер $n\ge {{2}^{k}}$ болса, онда $B$ ойыншының жеңіс стратегиясы бар.
2. Кез келген жеткілікті үлкен $k$ саны үшін, $B$-ның жеңіс стратегиясы жоқ болатындай $n\ge {{1,99}^{k}}$ бүтін саны табылады.
комментарий/решение(2)
Ойын басында $A$ ойыншы $x$ және $N$ сандарын $1\le x\le N$ болатындай таңдап алады. $A$ ойыншысы $x$ санын құпияда сақтап, ал $N$ санын $B$ ойыншыға шын айтады. Осыдан кейін $B$ ойыншы $A$ ойыншыға сұрақтар қойып $x$ саны туралы мәлімет алуға тырысады. Сұрақтардың түрлері осындай: әрбір сұрақта $B$ ойыншы өз қалауынша натурал сандардан тұратын $S$ жиынын таңдап (бұл жиын алғашқы сұрақтардың бірінде кездесуі мүмкін), $x$ саны осы жиынға тиісті ме екенін $A$ ойыншыдан сұрайды. $B$ ойыншы қанша сұрақ қойғысы келсе, сонша сұрақ қоя алады. $B$ ойыншының әр сұрағына $A$ ойыншы иә немесе жоқ деп бірден жауап беруге тиіс, бірақ қанша рет болса да өтірік жауап беруіне болады; тек қана бір шектеу бар: кез келген $k+1$ қатар келетін жауаптардың ішінде кемінде бір шын жауап болуы тиіс.
$B$ өзі қажет деп санаған сұрақтар қойғаннан кейін элементтер саны $n$-нен көп емес натурал сандардан тұратын $X$ жиынын көрсетуі тиіс. Егер $x$ ол $X$ жиынына тиісті болса, онда ойыншы $B$ жеңеді; басқа жағдайда $B$ жеңіледі. Дәлелдеңдер:
1. Егер $n\ge {{2}^{k}}$ болса, онда $B$ ойыншының жеңіс стратегиясы бар.
2. Кез келген жеткілікті үлкен $k$ саны үшін, $B$-ның жеңіс стратегиясы жоқ болатындай $n\ge {{1,99}^{k}}$ бүтін саны табылады.
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $a+b+c=0$ шартын қанағаттандыратын кез келген бүтін $a,b,c$ сандары үшін $f{{(a)}^{2}}+f{{(b)}^{2}}+f{{(c)}^{2}}=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$ теңдігі орындалатын барлық $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ функцияларын анықтаңдар. (Мұндағы $\mathbb{Z}$ — бүтін сандар жиыны.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\angle BCA=90{}^\circ $ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген, $D$ нүктесі $C$ төбесінен түсірілген биіктіктің табаны. $CD$ кесіндісінің ішінен $X$ нүктесі алынған. $BK=BC$ болатындай $AX$ кесіндісінен $K$ нүктесі алынған. Дәл осылай, $AL=AC$ болатындай $BX$ кесіндісінен $L$ нүктесі алынған. $M$ — $AL$ және $BK$ кесінділерінің қиылысу нүктесі. $MK=ML$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $\dfrac{1}{{{2}^{{{a}_{1}}}}}+\dfrac{1}{{{2}^{{{a}_{2}}}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{{{a}_{n}}}}}=\dfrac{1}{{{3}^{{{a}_{1}}}}}+\dfrac{2}{{{3}^{{{a}_{2}}}}}+\cdots +\dfrac{n}{{{3}^{{{a}_{n}}}}}=1$ теңдігі орындалатындай ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$ теріс емес бүтін сандар табылатындай барлық натурал $n$ сандарын анықтаңдар.
комментарий/решение
комментарий/решение