қазақша
русскийМатематикадан 49-шы халықаралық олимпиада, 2008 жыл, Мадрид
Есеп №1. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі $H$ болсын. Центрі $BC$ қабырғасында орналасқан $H$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер $BC$ түзуін ${{A}_{1}}$ және ${{A}_{2}}$ нүктелерінде қияды. Дәл сондай центрі $CA$ қабырғасының ортасында болатын $H$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер $CA$ түзуін ${{B}_{1}}$ және ${{B}_{2}}$ нүктелерінде қияды, ал центрі $AB$ қабырғасының ортасында болатын $H$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер $AB$ түзуін ${{C}_{1}}$ және ${{C}_{2}}$ нүктелерінде қияды. ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{B}_{1}}$, ${{B}_{2}}$, ${{C}_{1}}$, ${{C}_{2}}$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. а) Әрқайсысы 1-ге тең емес және $xyz=1$ шартын қанағаттандыратын $x$, $y$, $z$ нақты сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:
$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{{{\left( z-1 \right)}^{2}}}\ge 1.$
б) Бірліктен өзге $xyz=1$ болатын рационал $x$, $y$, $z$ сандарының үштігі, көрсетілген теңсіздіктің теңдік жағдайы орындалатындай шексіз көп табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
б) Бірліктен өзге $xyz=1$ болатын рационал $x$, $y$, $z$ сандарының үштігі, көрсетілген теңсіздіктің теңдік жағдайы орындалатындай шексіз көп табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
Есеп №3. ${{n}^{2}}+1$ санының ($2n+\sqrt{2n}$) — ден үлкен жай бөлгіші бар болатындай шексіз көп $n$ натурал саны табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $wx=yz$ болатын кез келген оң $w$, $x$, $y$, $z$ сандары үшін
$\dfrac{{{\left( f(w) \right)}^{2}}+{{\left( f(x) \right)}^{2}}}{f({{y}^{2}})+f({{z}^{2}})}=\dfrac{{{w}^{2}}+{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$
орындалатындай барлық $f:\left( 0,+\infty \right)\to \left( 0,+\infty \right)$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. $n$ және $k$ сандары $k\ge n$ болатындай натурал сандар, ал ($n-k$) — жұп сан. Әрбірі төмендегідей екі күйдің бірінде болатын, $1$, $2$, $\ldots $, $2n$ сандарымен нөмірленген $2n$ шам берілген: қосылған және өшірілген. Бастапқыда барлық шамдар өшіп тұрды. Реттелген жүрістер тізбегі қарастырылады: әрбір жүрісте дәл бір шам өзінің күйін қарсы күйге ауыстырады(қосылғаннан өшірілгенге, өшірілгеннен қосылғанға). $k$ жүрістен тұратын, 1-шіден $n$-ші шамға дейін барлық шамдар қосылған, ал $\left( n+1 \right)$-ден бастап $\left( 2n \right)$-ге дейін шамдар барлығы өшірілген күйде болатындай тізбектер санын $N$ деп белгілейміз.
$k$ жүрістен тұратын, 1-шіден $n$-ші шамға дейін барлық шамдар қосылған, ал $\left( n+1 \right)$-ден бастап $\left( 2n \right)$-ге дейін шамдар барлығы өшірілген, бірақ $\left( n+1 \right)$-ден бастап $\left( 2n \right)$-ге дейін шамдар өз күйін еш өзгертпейтін күйде болатындай тізбектер санын $M$ деп белгілейміз. $\dfrac{N}{M}$ қатынасының мәнін табыңыздар.
комментарий/решение
$k$ жүрістен тұратын, 1-шіден $n$-ші шамға дейін барлық шамдар қосылған, ал $\left( n+1 \right)$-ден бастап $\left( 2n \right)$-ге дейін шамдар барлығы өшірілген, бірақ $\left( n+1 \right)$-ден бастап $\left( 2n \right)$-ге дейін шамдар өз күйін еш өзгертпейтін күйде болатындай тізбектер санын $M$ деп белгілейміз. $\dfrac{N}{M}$ қатынасының мәнін табыңыздар.
комментарий/решение
Есеп №6. $BA\ne BC$ болатын $ABCD$ дөңес төртбұрышы берілсін. $ABC$ және $ADC$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді сәйкесінше ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ деп белгілейміз. $BA$ кесіндісінің жалғасын $A$ нүктесінде, $BC$ кесіндісінің жалғасын $C$ нүктесінде, ал $AD$ және $CD$ түзулерін жанайтындай $\omega $ шеңбері кездеседі деп есептейік. ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ шеңберлеріне жүргізілген сыртқы ортақ жанамалар $\omega $ шеңберінің бойында қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)