43-я Международная Математическая Oлимпиада
Великобритания, Глазго, 2002 год

Задача №1.  Дано натуральное число $n$. Обозначим через $T$ множество точек $\left( x,y \right)$ координатной плоскости, где$x$ и $y$— неотрицательные целые числа такие, что $x+y < n$. Каждая точка из $T$ окрашена в красный или синий цвет. Если точка $\left( x,y \right)$ красная, то все точки $\left( x',y' \right)$ из $T$, для которых $x'\le x$ и $y'\le y$ также красные. Назовем $X$-множеством множество, состоящее из $n$ синих точек, имеющих различные координаты $x$, а $Y$-множеством множество, состоящее из $n$ синих точек, имеющих различные координаты $y$. Докажите, что количество $X$-множеств равно количеству $Y$-множеств.
комментарий/решение

---

Задача №2.  Дана окружность $\Gamma $ с центром $O$ и диаметром $BC$. Пусть $A$ — такая точка окружности $\Gamma $, что $0{}^\circ < \angle AOB < 120{}^\circ $, а $D$ — середина дуги $AB$, не содержащей $C$. Прямая, проходящая через точку $O$ параллельно $DA$, пересекает прямую $AC$ в точке $J$. Серединный перпендикуляр к отрезку $OA$ пересекает окружность $\Gamma $ в точках $E$ и $F$. Докажите, что точка $J$ является центром окружности, вписанной в треугольник $CEF$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Найдите все пары натуральных чисел $m\ge 3$, $n\ge 3$, для которых существует бесконечно много таких натуральных чисел $a$, что число $\dfrac{{{a}^{m}}+a-1}{{{a}^{n}}+{{a}^{2}}-1}$ —целое.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Дано натуральное число $n$, большее 1. Обозначим через ${{d}_{1}},{{d}_{2}},\ldots ,{{d}_{k}}$ все его делители так, что $1={{d}_{1}} < {{d}_{2}} < \ldots < {{d}_{k}}=n$. Пусть $D={{d}_{1}}{{d}_{2}}+{{d}_{2}}{{d}_{3}}+\ldots +{{d}_{k-1}}{{d}_{k}}$.
а) Докажите, что $D < {{n}^{2}}$.
б) Найдите все $n$, для которых число $D$ — делитель числа ${{n}^{2}}$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Найдите все функции $ f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, такие, что $\left( f(x)+f(z) \right)\left( f(y)+f(t) \right)=f(xy-zt)+f(xt+yz)$ для всех действительных $x,y,z,t$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  На плоскости расположены окружности ${{\Gamma }_{1}}$, ${{\Gamma }_{2}}$, $\ldots $, ${{\Gamma }_{n}}$ радиуса 1 каждая с центрами ${{O}_{1}}$, ${{O}_{2}}$, $\ldots $, ${{O}_{n}}$ соответственно, где $n\ge 3$. Известно, что любая прямая плоскости имеет общие точки не более чем с двумя из этих окружностей. Докажите, что $$\sum\limits_{1\le i < j\le n}^{{}}{\dfrac{1}{{{O}_{i}}{{O}_{j}}}}\le \dfrac{(n-1)\pi }{4}.$$
комментарий/решение(1)

---