Математикадан 41-ші халықаралық олимпиада, 2000 жыл, Тайджон

Есеп №1. ${{\Gamma }_{1}}$ және ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберлері $M$ және $N$ нүктелерінде қиылысады. $M$ нүктесі $N$ нүктесіне қарағанда $l$ түзуіне жақын болатындай ${{\Gamma }_{1}}$ және ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберлеріне $l$ ортақ жанама түзуі жүргізілген. $l$ түзуі ${{\Gamma }_{1}}$ шеңберін $A$ нүктесінде, ал ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберін $B$ нүктесінде жанайды. $l$ түзуіне параллель $M$ нүктесі арқылы өтетін түзу, ${{\Gamma }_{1}}$ шеңберін екінші рет $C$ нүктесінде, ал ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберін $D$ нүктесінде қияды. $CA$ және $DB$ түзулері $E$ нүктесінде қиылысады, $AN$ және $CD$ түзулері $P$ нүктесінде, ал $BN$ және $CD$ түзулері $Q$ нүктесінде қиылысады. $EP=EQ$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. $a,b,c$ оң сандары үшін $abc=1$ орындалады. $$\left( a-1+\dfrac{1}{b} \right)\left( b-1+\dfrac{1}{c} \right)\left( c-1+\dfrac{1}{a} \right)\le 1$$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)

Есеп №3. $n\ge 2$ натурал сандары берілген. Горизонталь түз бойында бір нүктеде орналаспайтындай $n$ бүрге отыр. $\lambda $ оң саны үшін секірісті былай анықтаймыз: кез келген түзу бойындағы $A$ және $B$ нүктелерінде отырған екі бүрге таңдалады, $A$ бүргесі $B$ бүргесінің сол жағында отырады, $A$ нүктесінде отырған бүрге $\dfrac{BC}{AB}=\lambda $ орындалатындай $B$ нүктесінің оң жағында орналасқан осы түзудегі $C$ нүктесіне секіреді. Осы түуздегі кез келген $M$ нүктесі үшін және $n$ бүргенің бастапқыдағы кез келген орналасуы үшін барлық бүргелер $M$ нүктесінің оң жағында жиналатындай ақырлы секірістер тізбегі табылатындай $\lambda $ барлық мәндерін анықтаңыздар.
комментарий/решение

Есеп №4. Фокусшыда 1--ден 100-ге дейін нөмірленген 100 карта бар. Ол әрбір жәшікте кем дегенде бір карта жататындай карталарды — қызыл, ақ және көк үш жәшіктерге салады. Көрермендердің біреуі үш жәшіктің екеуін таңдап, әрбірінен бір картадан алып ондағы жазылған сандардың қосындысын айтады. Осы қосындыны біле отыра фокусшы карта алынбаған жәшікті анықтап береді. Осы фокус әрқашан орындалатындай карталарды қанша тәсілмен жәшіктерге салуға болады? (Кем дегенде бір карта әр түрлі жәшіктерге түсетін есептеу әдісі әр түрлі болып есептеледі.)
комментарий/решение(1)

Есеп №5. $n$ санының дәл 2000 жай бөлгіші болатындай және ${{2}^{n}}+1$ саны $n$-ге бөлінетіндей $n$ натурал саны табыла ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №6. $A{{H}_{1}}$, $B{{H}_{2}}$, $C{{H}_{3}}$ кесінділері сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының биіктіктері болсын. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $BC$, $CA$, $AB$ қабырғаларын сәйкесінше ${{T}_{1}}$, ${{T}_{2}}$, ${{T}_{3}}$ нүктелерінде жанайды. ${{l}_{1}}$, ${{l}_{2}}$, ${{l}_{3}}$ түзулері ${{H}_{2}}{{H}_{3}}$, ${{H}_{3}}{{H}_{1}}$, ${{H}_{1}}{{H}_{3}}$ түзулерінің сәйкесінше ${{T}_{2}}{{T}_{3}}$, ${{T}_{3}}{{T}_{1}}$, ${{T}_{1}}{{T}_{2}}$ түзулеріне қатысты симметриялы бейнелері. ${{l}_{1}}$, ${{l}_{2}}$, ${{l}_{3}}$ түзулері, төбелері, $ABC$ үбұрышына іштей сызылған шеңбердің бойында жататындай үшбұрыш құрайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

результаты