36-я Международная Математическая Oлимпиада
Канада, Торонто, 1995 год

Задача №1.  Пусть $A$, $B$, $C$ и $D$ — четыре различные точки на прямой, расположенные в указанном порядке. Окружности с диаметрами $AC$ и $BD$ пересекаются в точках $X$ и $Y$. Прямые $XY$ и $BC$ пересекаются в точке $Z$. Пусть $P$ — точка на прямой $XY$, отличная от $Z$. Прямая $CP$ пересекает окружность с диаметром $AC$ в точках $C$ и $M$, а прямая $BP$ пересекает окружность с диаметром $BD$ в точках $B$ и $N$. Доказать, что прямые $AM$, $DN$ и $XY$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные числа такие, что $abc=1$. Доказать, что $\dfrac{1}{{{a}^{3}}\left( b+c \right)}+\dfrac{1}{{{b}^{3}}\left( c+a \right)}+\dfrac{1}{{{c}^{3}}\left( a+b \right)}\ge \dfrac{3}{2}.$
комментарий/решение(6)

---

Задача №3.  Найти все целые числа $n > 3$, для которых существуют $n$ точек ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots $, ${{A}_{n}}$ на плоскости и действительные числа ${{r}_{1}}$, ${{r}_{2}}$, $\ldots $, ${{r}_{n}}$, удовлетворяющие следующим условиям:
а) никакие три из точек ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots $, ${{A}_{n}}$ не лежат на одной прямой;
б) для любой тройки $i,j,k$ ($1\le i < j < k\le n$) площадь треугольника ${{A}_{i}}{{A}_{j}}{{A}_{k}}$ равна ${{r}_{i}}+{{r}_{j}}+{{r}_{k}}$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Найти наибольшее значение ${{x}_{0}}$, для которого существует последовательность положительных чисел ${{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{1995}}$, удовлетворяющая следующим условиям:
а) ${{x}_{0}}={{x}_{1995}}$;
б) ${{x}_{i-1}}+\dfrac{2}{{{x}_{i-1}}}=2{{x}_{i}}+\dfrac{1}{{{x}_{i}}}$ для всех $i=1,2,\ldots ,1995$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Пусть $ABCDEF$ — выпуклый шестиугольник, в котором $AB=BC=CD$, $DE=EF=FA$ и $\angle BCD=\angle EFA=60{}^\circ $. Пусть $G$ и $H$ — две точки внутри шестиугольника такие, что $\angle AGB=\angle DHE=120{}^\circ $. Доказать, что $AG+GB+GH+DH+HE\ge CF.$
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Пусть $p$ — нечетное простое число. Найти количество подмножеств $A$ множества $\{1,2,\ldots ,2p\}$ таких, что:
а) $A$ содержит ровно $p$ элементов;
б) сумма всех элементов из $A$ делится на $p$.
комментарий/решение(1)

---