қазақша
русскийМатематикадан 34-ші халықаралық олимпиада, 1993 жыл, Стамбул
Есеп №1. $f\left( x \right)={{x}^{n}}+5{{x}^{n-1}}+3$ болсын, мұндағы $n > 1$ — бүтін сан. $f\left( x \right)$ — ті бүтін коэффициентті дәрежелері оң болатын екі көпмүшеліктің көбейтіндісі ретінде жазуға болмайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы мен $\angle ABC=\angle ACB+90{}^\circ $ және $AC\cdot BD=AD\cdot BC$ болатындай сол үшбұрыш ішінен $D$ нүктесі берілген.
а) $\dfrac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD}$ мәнін есептеңіздер.
б) $ACD$ және $BCD$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерге С нүктесі арқылы жүргізілген жанамалар бір-біріне перпендикуляр екенін дәлелдеңізер.
комментарий/решение(1)
а) $\dfrac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD}$ мәнін есептеңіздер.
б) $ACD$ және $BCD$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерге С нүктесі арқылы жүргізілген жанамалар бір-біріне перпендикуляр екенін дәлелдеңізер.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Шексіз шахмат тақтасында келесідей ойын өтеді. Бастапқыда $n\times n$ квадраттық торында әрбір торда бір фишкадан ${{n}^{2}}$ фишка жатыр. Бір фишканы горизонталь немесе вертикаль бағытта көршілес бос емес тордан асып одан кейінгі бос торға секірту бір жүріс болып есептелінеді. Үстінен секірілген фишка тақтадан алынып тасталынады. Осындай ойын кезінде тақтада тек бір ғана фишка қалдыра алатындай $n$ санының барлық мәндерін табыңдар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Жазықтықта жататын $P$, $Q$, $R$ үш нүктесі үшін $m\left( PQR \right)$ арқылы сол үш нүктеден құралған үшбұрыштың ең кіші биіктігін белгілейміз ( егер $P$, $Q$, $R$ нүктелері бір түзудің бойында жатса,онда $m\left( PQR \right)=0$ ). Жазықтықта $A$, $B$, $C$ нүктелері берілсін. Осы жазықтықта жататын кез келген $X$ нүктесі үшін $$m\left( ABC \right)\le m\left( ABX \right)+m\left( AXC \right)+m\left( XBC \right)$$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $N=\left\{ 1,2,3,\ldots \right\}$ болсын. Кез келген $n\in N$ үшін $f\left( 1 \right)=2$, $f(f(n))=f(n)+n$ және кез келген $n\in N$ үшін $f(n) < f(n+1)$ болатын $f:N\to N$ функцияның кездесетінін немесе кездеспейтінін анықтаңыз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. $n$ саны 1-ден үлкен бүтін сан болсын. Шеңбер бойымен ${{L}_{0}}$, $\ldots $, ${{L}_{n-1}}$ белгіленген $n$ шам орналасқан. Әрбір шам "қосылған" немесе "өшірілген" деген режимдерде бола алады. ${{S}_{0}}$, ${{S}_{1}}$, $\ldots $, ${{S}_{i}}$, $\ldots $ тізбегінің қадамдары келесі түрде анықталады. ${{L}_{j-1}}$ қосылғанда ${{S}_{j}}$ қадамы ${{L}_{j}}$ күйін өзгертетіндей ${{S}_{j}}$ қадамы тек ${{L}_{j}}$ шамының күйіне әсер ете алады (басқа шамдардың күйлеріне әсер етпейді): егер ${{L}_{j}}$ қосылған болса, онда өшіріледі; егер ${{L}_{j}}$ өшірілген болса, онда қосылады; егер ${{L}_{j-1}}$ өшірілгенде ${{S}_{j}}$ ештене өзгертпейді. (Шамдар $n$ бойынша модульдер бойынша нөмірленген, яғни ${{L}_{-1}}={{L}_{n-1}}$, ${{L}_{0}}={{L}_{n}}$, ${{L}_{1}}={{L}_{n+1}}$ және т.б.)
Бстапқыда барлық шамдар қосылған.
а) $M\left( n \right)$ қадамнан кейін шамдар қайтадан қосылатындай $M\left( n \right)$ бүтін оң саны табылатынын дәлелдеңіздер;
б) Егер $n$ саны ${{2}^{k}}$ түріндегі сан болса, онда ${{n}^{2}}-1$ қадамнан кейін барлық шамдар қосылатынын дәлелдеңіздер;
в) Егер $n$ саны ${{2}^{k}}+1$ түріндегі сан болса, онда ${{n}^{2}}-n+1$ қадамнан кейін барлық шамдар қосылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
Бстапқыда барлық шамдар қосылған.
а) $M\left( n \right)$ қадамнан кейін шамдар қайтадан қосылатындай $M\left( n \right)$ бүтін оң саны табылатынын дәлелдеңіздер;
б) Егер $n$ саны ${{2}^{k}}$ түріндегі сан болса, онда ${{n}^{2}}-1$ қадамнан кейін барлық шамдар қосылатынын дәлелдеңіздер;
в) Егер $n$ саны ${{2}^{k}}+1$ түріндегі сан болса, онда ${{n}^{2}}-n+1$ қадамнан кейін барлық шамдар қосылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение