4-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Охрид, Македония, 2000 год


Задача №1.  Пусть $x$, $y$ положительные действительные числа, для которых справедливо равенство $x^3 + y^3 + (x + y)^3 + 30xy = 2000. $ Докажите, что $x + y = 10$. ( Romania )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все натуральные числа $n$ такие, что число $n^2+3^n$ является точным квадратом. ( Bulgaria )
комментарий/решение
Задача №3.  Полуокружность с диаметром $EF$ расположена на стороне $BC$ треугольника $ABC$ так, что она касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых $EP$ и $FQ$ лежит на высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины $A$. ( Albania )
комментарий/решение
Задача №4.  В теннисном турнире участвуют $2n$ мальчиков и $n$ девушек. Все участники играют по одному разу с каждым другим участником. Юноши выиграли в $\frac 75$ раз больше матчей чем девушки. Известно, что ничей в теннисе не бывает. Найдите $n$. ( Serbia )
комментарий/решение