Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2013 год


Задача №1.  Найдите все целые положительные решения уравнения $\left( n-1 \right)!={{n}^{k}}-1$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Для любых положительных чисел $a,b,c$ докажите, что $\dfrac{{{a}^{2}}}{a+b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}\ge \dfrac{3a+2b-c}{4}$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Докажите, что существует бесконечно много упорядоченных пар чисел $\left( a;b \right)$ таких, что для каждого целого положительного числа $t$ число $at+b$ является треугольным тогда и только тогда, когда число $t$ является треугольным (треугольными числами называются числа вида ${{t}_{n}}=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}$, где $n$ — целое положительное число).
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что если точки на сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника, с катетом длиною 1, покрашены в один из четырех цветов, то найдутся две точки одного цвета, расстояние между которым будет не меньше $2-\sqrt{2}$.
комментарий/решение
Задача №5.  Пусть даны две последовательности $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$, $\left\{ {{y}_{n}} \right\}$ такие, что ${{x}_{1}}=1$, ${{x}_{2}}=3$, ${{x}_{n+1}}={{x}_{n}}+2{{x}_{n-1}}$, ${{y}_{1}}=7$, ${{y}_{2}}=17$, ${{y}_{n+1}}=2{{y}_{n}}+3{{y}_{n-1}}$, $n\ge 2$. Докажите, что последовательности $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$, $\left\{ {{y}_{n}} \right\}$ не имеют общих членов, т.е. для любых натуральных чисел $m$, $n$ выполнено соотношение ${{x}_{n}}\ne {{y}_{m}}$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  На сторонах остроугольного треугольника $ABC$ отмечены точки таким образом, что на стороне $BC$ — точки ${{A}_{1}}$ между ${{A}_{2}}$ и $C$: $6B{{A}_{2}}=3A_2A_1=2A_1C$, на стороне $CA$ — точки ${{B}_{1}}$ между ${{B}_{2}}$ и $C$: $C{{B}_{1}}=2{{B}_{1}}{{B}_{2}}={{B}_{2}}A$, на стороне $AB$ — точки ${{C}_{1}}$ между ${{C}_{2}}$ и $A$: $14A{{C}_{1}}=6{{C}_{1}}{{C}_{2}}=21{{C}_{2}}B$. Пусть $M,N,K$ — ортоцентры треугольников ${{C}_{2}}B{{A}_{2}}$, ${{A}_{1}}C{{B}_{1}}$, ${{B}_{2}}A{{C}_{1}}$. Найдите площадь многоугольника ${{C}_{2}}M{{A}_{2}}{{A}_{1}}N{{B}_{1}}{{B}_{2}}K{{C}_{1}}$, если $\angle CAB=60{}^\circ $, $\angle ABC=45{}^\circ $ и площадь треугольника $ABC$ равна 144.
комментарий/решение
Задача №7.  Найдите максимум функции $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ на множестве всех чисел $x$ таких, что ${{x}^{4}}+36\le 13{{x}^{2}}$.
комментарий/решение(1)
Задача №8.  Пусть даны множества $A=\left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots,{{x}_{20}} \right\}$ и $B=\left\{ {{y}_{1}},{{y}_{2}},\ldots ,{{y}_{20}} \right\}$ не обязательно различных чисел такие, что $0 < {{x}_{j}}\le 13$, $0 < {{y}_{i}}\le 20$, $j=1,2,\ldots ,13$, $i=1,2,\ldots ,20$. Докажите, что во множествах $A$ и $B$ можно выбрать непустые подмножества, сумма элементов которых совпадают.
комментарий/решение