Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2013 год


Задача №1.  Вернувшись со школы Нуркен поспешил поделиться открытием со своей сестрой Гаухар. Оказывается, что число 2013 является наименьшим четырехзначным числом $\overline{abcd}$, состоящим из различных цифр таким, что справедливо равенство ${{a}^{b}}+{{c}^{d}}={{a}^{c}}+{{b}^{d}}$. Однако Гаухар сразу поняла, что это неправильно. Помогите Нуркену определить, как она догадалась.
комментарий/решение
Задача №2.  Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle ABC=70{}^\circ $, $\angle ACB=50{}^\circ $. На сторонах $AB$ и $AC$ отмечены такие точки $M$ и $N$, что $\angle MCB=40{}^\circ $ и $\angle NBC=50{}^\circ $. Найдите угол $\angle NMC$.
комментарий/решение
Задача №3.  Какое наименьшее число точек можно выбрать на окружности длины 2013 так, чтобы для каждой из этих точек нашлась ровно одна выбранная на расстоянии 4 и ровно одна на расстоянии 7 (расстояние измеряется по окружности)?
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть даны натуральные числа $m$ и $n$ такие, что НОД$\left( m,n \right)=1$. Докажите, что число $\dfrac{\left( m+n-1 \right)!}{n!\left( m-1 \right)!}$ делится на $m$ ($k!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k$).
комментарий/решение
Задача №5.  В каком году мог родиться бессмертный горец Дункан Маклауд, если известно, что в 2013 году ему исполнилось столько лет, какова сумма цифр его года рождения?
комментарий/решение
Задача №6.  На основании $BC$ треугольника $ABC$ найдите такую точку $X$, что окружности, вписанные в треугольники $ABX$ и $ACX$, будут иметь общую точку.
комментарий/решение
Задача №7.  2013 ненулевых цифр выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определенного места, то полученное 2013-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.
комментарий/решение
Задача №8.  Квадрат $47\times 47$ покройте квадратами $1\times 1$, $2\times 2$ и $3\times 3$. Какое наименьшее необходимое количество квадратов $1\times1$ необходимо для этого?
комментарий/решение