Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 9 класс


Задача №1.  Сколькими нулями оканчивается произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100$?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Сколькими способами можно разменять 2007 тенге монетами достоинством в 1 и 5 тенге?
комментарий/решение
Задача №3.  Дана трапеции $ABCD$ с основанием $AD$. Обозначим точку пересечения биссектрис внешних углов $A$ и $B$ через $M$, и точку пересечения биссектрисы внешних углов $C$ и $D$ через $N$. Доказать что длина отрезка $MN$ равна половине периметра трапеции.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть $a$, $b$, $c$ — неотрицательные числа. Докажите, что $ab+bc+ca \geq \sqrt {3abc(a + b + c)}.$
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите углы остроугольного треугольника $ABC$, если известно, что его биссектриса $AD$ равна стороне $AC$ и перпендикулярна отрезку $OH$, где $O$ — центр описанной окружности, $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$.
комментарий/решение
Задача №6.  Натуральные числа от 1 до 127 разбили на несколько (больше, чем на одну) групп с равными суммами. Докажите, что этих групп — четное число.
комментарий/решение