Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2006 год


Задача №1.  Обозначим через П($x$) произведение цифр числа $x$. В ряд выписаны числа П(2006), П(2007), П(2008), $\ldots$ Какое наибольшее количество чисел, записанных подряд, могут оказаться последовательными натуральными числами?
комментарий/решение
Задача №2.  В семье 4 человека. Если Аскару удвоят стипендию, то общий доход всей семьи возрастет на $10\%$, если вместо этого маме удвоят зарплату — то на $20\%$, если же зарплату удвоят папе — то на $55\%$. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?
комментарий/решение
Задача №3.  Докажите, что любой параллелограмм можно разрезать ровно на 9 равнобедренных треугольников.
комментарий/решение
Задача №4.  Найти целое число $a$, при котором $\left( x -a\right)\left( x-10 \right)+1$ разлагается в произведение $\left( x+b \right)\left( x+ c\right)$ двух множителей с целыми $b$ и $c$.
комментарий/решение
Задача №5.  Пусть в треугольнике $M$ середина $AB$ и $D\in AC$ основания биссектрисы угла $\angle ABC$. Докажите, что $AB=3BC$, если $MD\bot BD$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Верно ли, что $\dfrac{2\cdot \text{ 2005}}{\text{1}+\dfrac{\text{1}}{\text{1}+\text{2}}+\dfrac{1}{1+2+3}+\dots+\dfrac{1}{1+2+3+\dots+2005}}=2006 \ ?$
комментарий/решение
Задача №7.  Даны действительные числа $a,b,c$, причем$a > b > c$. Докажите неравенство ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a > {{b}^{2}}a+{{a}^{2}}c+{{c}^{2}}b$.
комментарий/решение(1)
Задача №8.  На доске сначала написано число 1. Асан прибавляет к нему 3, 5 или 7. К результату Марат должен прибавить 3, 5 или 7 так, чтобы получилось простое число. Затем опять Асан прибавляет 3, 5 или 7 и т.д. Если Марат не сможет получить простое число, то он проиграет. Если же Марат получит простое число, большее 100, то он выиграет. Кто выиграет при правильной игре?
комментарий/решение
Задача №9.  В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $A{{A}_{1}}$ и $C{{C}_{1}}$. $M$ и $K$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $B$ на прямые $A{{A}_{1}}$ и $C{{C}_{1}}$. Докажите, что$MK \parallel AC$.
комментарий/решение
Задача №10.  Даны 2005 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, $\dots$, 2005 г. Можно ли распределить их в 5 групп так, чтобы в каждой группе было одно и то же число гирь и суммарная масса гирь во всех группах была одной и той же?
комментарий/решение