қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 8-9 классы, 2003 год
Задача №1. Решите систему уравнений в действительных числах $\left\{ \begin{gathered}
\left| {x + y - 4} \right| = 5,\\
\left| {x - 3} \right| + \left| {y - 1} \right| = 5. \\
\end{gathered} \right.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $AM$ и $BN$ являются высотами остроугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB\ne 45{}^\circ $). На лучах $MA$ и $NB$ отмечены соответственно точки $K$ и $T$ так, что $MK=MB$ и $NT=NA$. Докажите, что $KT \parallel MN$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Найдите наименьшее число элементов во множестве $\{1, 2, 3, \dots, 27, 28\},$ которые должны быть удалены, чтобы произведение оставшихся элементов являлось точным квадратом.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В хоккейном турнире участвовало $N$ команд. Любые две команды сыграли между собой в точности один раз. (За выигрыш присуждается 2 очка, ничью 1 — очко, проигрыш — 0 очков). Известно, что для любых трех команд никакие две из них не набрали одинаковое количество очков в играх между этими тремя командами. Найдите наибольшее возможное количество ничейных результатов в данном турнире, если
а) $N=12$;
б) $N=13$.
комментарий/решение
комментарий/решение