қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2001 год
Задача №1. Пусть $S\left( n \right)$ — сумма цифр числа $n$. Найдите все $n$, для которых $n+S\left( n \right)+S\left( S\left( n \right) \right)+\ldots +S\left( S\left( \ldots S\left( n \right) \right) \right)=2000000$. В левой части равенства число слагаемых равно $n$).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Отметьте на доске $8\times 8$ несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Две окружности ${{K}_{1}}$ и ${{K}_{2}}$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Проведена общая касательная которая касается окружностей ${{K}_{1}}$ и ${{K}_{2}}$ соответственно в точках ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$. Докажите, что треугольники $AB{{C}_{1}}$ и $AB{{C}_{2}}$ равновелики.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что для любых положительных $a,b,c,d,e$ выполняется следующее неравенство: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}\ge a\left( b+c+d+e \right).$$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)