қазақша
русскийМатематикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2012 жыл
Есеп №1. $xOy$ координат жазықтығында $y={{x}^{2}}$ параболасы салынған. $A$, $B$ және $C$ берілген параболадағы әр түрлі нүктелер болсын. $BC$ түзуінің $Oy$ өсімен қиылысу нүктесін ${{A}_{1}}$ арқылы белгілейік. Дәл сол сияқты ${{B}_{1}}$ мен ${{C}_{1}}$ нүктелері анықталсын. $A$, $B$ және $C$ нүктелерінен $Ox$ өсіне дейінгі қашықтықтардың қосындысы ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелерінен $Ox$ өсіне дейінгі қашықтықтардың қосындысынан үлкен екенін дәлелде.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $2013 \times 2013$ квадрат тақтасының әр шаршысына $1$ немесе $-1$ саны жазылған. ${{A}_{i}}$ арқылы $i$ қатарындағы сандар көбейтіндісін, ал ${{B}_{i}}$ арқылы $i$ бағанындағы сандар көбейтіндісін белгілейік. $\sum\limits_{i=1}^{2013}{({{A}_{i}}+{{B}_{i}})}$ қосындысы нөлге тең бола ала ма?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Теңбүйірлі $ABC$ $(BC=AC)$ үшбұрышының $BN$ биссектриссасында $BK=KC$ және $KN=NA$ болатындай $K$ нүктесі табылған. $ABC$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $n$ қандай да бір берілген натурал сан, ал $\{0,1,\ldots,{{n}^{2}}-1\}$ жиынындағы $m$ саны, қандай да болмасын бүтін $x$ және $y$ сандары үшін ${{x}^{n}}+{{y}^{n}}-m$ саны ${{n}^{2}}$-қа бөлінбейтін сан болсын. Осы шартты қанағаттандыратын $m$ санының саны $\dfrac{n(n-1)}{2}$-ден кем емес екенін дәлелде.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)