қазақша
русскийМатематикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2011 жыл
Есеп №1. $N = 10^{10}-1$ болсын. $\{|{{a}_{1}}-{{a}_{2}}|, |{{a}_{2}}-{{a}_{3}}|, |{{a}_{3}}-{{a}_{4}}|,\dots, |{{a}_{N-1}}-{{a}_{N}}|\}=\{1,10,{{10}^{2}}, {{10}^{3}},\dots, {{10}^{9}}\}$ болатындай $(1,2,\ldots ,N)$ сандарының қандай да бір $({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{N}})$ ауыстырылымы бар екенін дәлелдеңдер (қандай да бір $\,|{{a}_{i}}-{{a}_{i+1}}|$ алымы қайталанып келуі мүмкін, бірақ та $({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{N}})$ жиынының барлық мүшелері сол алымдардын ішінде кездесу керек).
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $f$ – кез келген квадратты үшмүшесі берілген. Арифметикалық прогрессияның қатар келген $({{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}})$ мүшелері үшін $F=\{f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),\ldots ,f({{x}_{n}})\}$ жиынының мүшелері де қандай да бір ретте арифметикалық прогрессияның қатар келген мүшелері болатындай $({{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}})$ сандары табыла ма? Егер:
\par а) $n = 3$ болса;
\par б) $n = 4$ болса.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $S(x)$ арқылы $x$ санының цифрларының қосындысын белгілейік. Кез келген натурал $n$ саны үшін $S(x^2) = nS(x)$ шарты орындалатындай шексіз көп $x$ натурал санының табылатынын дәлелде.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Центрі $O$ болатын $\omega $ шеңберіне $S$ нүктесінен $SA$ және $SB$ жанамалары жүргізілген. $\omega $ шеңберінде $AC \parallel OB$ және $CC’$ $\omega $-ның диаметрі болатындай $C$ мен $C’$ нүктелері алынған. $BC$ мен $SA$ түзулері $K$, ал $KC’$ пен $AC$ түзілері $M$ нүктесінде қиылыссын. Егер $BMK$ бұрышы тік болса, онда $MKC$ үшбұрышында $M$ нүктесінен түсірілген биіктік $C$ нүктесінен түсірілген биіктікті қақ ортасынан бөлетінін дәлелде.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение
комментарий/решение