Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс

Задача №1.  Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ удовлетворяют следующим условиям:
i) $a \neq b$, $b\neq c$, $c\neq d$, $d\neq a$;
ii) $\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-d \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( d-a \right)}^{2}}}=1$.
Найдите минимум выражения ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Дан треугольник $ABC$, около которого описана окружность $\omega$. Точки $D$ и $D_1$, лежащие на прямой $AC$, симметричны друг другу относительно середины $AC$. Пусть $BD$ и $BD_1$ во второй раз пересекают $\omega$ в точках $E$ и $E_1$, соответственно. Докажите, что все такие прямые $EE_1$ проходят через фиксированную точку плоскости.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Существуют ли натуральные числа $a$ и $b$ такие, что для каждого натурального $n$ числа ${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ и ${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ взаимно просты? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Из доски $2^n \times 2^n$ ($n \geq 3$) вырезали одну клетку. Докажите, что оставшуюся часть доски можно покрыть без наложений уголками из 3-х клеток по крайней мере $3^{{4^{n-3}}}$ различными способами. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение

---

Задача №5.  Около неравнобедренного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$, точка $M$ — середина $AC$. Касательная к $\omega$ в точке $B$ пересекает прямую $AC$ в точке $N$, а прямая $BM$ повторно пересекает $\omega$ в точке $L$. Пусть точка $P$ симметрична точке $L$ относительно $M$. Окружность, описанная около треугольника $BPN$, повторно пересекает прямую $AN$ в точке $Q$. Докажите, что $\angle ABP = \angle QBC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(9)

---

Задача №6.  Докажите, что для любого натурального $n$ на отрезке $[n-4\sqrt{n},~n+4\sqrt{n}]$ найдется число, представимое в виде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)

---