Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2008 жыл

Есеп №1. Бір-біріне тең емес $a,b,c$ бүтін сандары арифметикалық прогрессияны құрайды. Дәл осы сандар (мүмкін басқа ретте) геометриялық прогрессияны құрайды. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ саны 21-ге қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

---

Есеп №2. Дөңес $ABCD$ төрбұрышының $AC$ және $BD$ диагоналдары $E$ нүктесінде қиылысады, $M$ нүктесі --- $AE$ кесіндінің ортасы, $N$ нүктесі --- $CD$ кесіндінің ортасы. $BD$ диагоналы $ABC$ бұрышының биссектрисасы болып табылады. $ABCD$ төрбұрышына сырттай шеңбер сызуға болады сонда және тек қана сонда, егер $MBCN$ төрбұрышына сырттай шеңбер сызуға болады екендігін дәлелде.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. ${{x}^{2}}+y={{y}^{2}}+z={{z}^{2}}+x$ теңдеулер жүйесінің шексіз бір-біріне тең емес $x,y,z$ нақты шешімдері бар екендігін дәлелде.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Қабырғасы $n$-ге тең куб перегодкаларымен бірлік кубтарға бөлінген. Бірлік кубтардың арасындағы кем дегенде қанша перегородканы алып кез-келген бірлік кубтан үлкен кубтың кем дегенде бір жағына жетуге болады (үлкен кубтың жақатары орындарында қалады)?
комментарий/решение

---