22-я Балканская математическая олимпиада
Яссы, Румыния, 2005 год

Задача №1.  Вписанная окружность остроугольного треугольника $ ABC $ касается сторон $ AB $ и $ AC $ в точках $ D $ и $ E $ соответственно. Пусть биссектрисы углов $ ACB $ и $ ABC $ пересекают прямую $ DE $ в точках $ X $ и $ Y $ соответственно, и $ Z $ — середина стороны $ BC $. Докажите, что треугольник $ XYZ $ равносторонний тогда и только тогда, когда $ \angle A = 60 ^\circ $.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Найдите все простые числа $p$, для которых число $p^2-p+1$ является точным кубом.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Пусть $a,b,c$ — действительные положительные числа. Докажите неравенство $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-b)^2}{a+b+c}.$ При каких $a,b,c$ достигается равенство?
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Дано целое число $n \geq 2$. Пусть $S$ — подмножество множества $\{1,2,\dots,n\}$ такое, что $S$ не содержит два элемента, один из которого делит другого, и не содержит два элемента, которые взаимно просты. Найдите максимально возможное количество элементов такого множества $ S $.
комментарий/решение

---