Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2015 год


Задача №1.  На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. Прямая, проходящая через $D$, пересекает отрезок $AB$ и луч $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Окружность, описанная около треугольника $BXD$, пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABC$, вторично в точке $Z$, отличной от $B$. Прямые $ZD$ и $ZY$ пересекают $\omega$ вторично в точках $V$ и $W$ соответственно. Докажите, что $AB=VW$. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Пусть $S=\{2, 3, 4, \ldots \}$ — множество всех целых чисел, не меньших 2. Существует ли функция $f\colon S\to S$, для которой при всех $a, b\in S$ таких, что $a\neq b$, выполнено равенство $f(a)f(b) = f(a^2b^2) \, ?$ ( Angelo Di Pasquale )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Последовательность действительных чисел $a_0, a_1, \ldots $ будем называть хорошей, если выполняются следующие три условия.
(i) $a_0$ — натуральное число.
(ii) Для каждого целого неотрицательного $i$ выполнено хотя бы одно из равенств $a_{i+1}=2a_i+1$, $a_{i+1}=\dfrac{a_i}{a_i+2}$.
(iii) Существует натуральное $k$ такое, что $a_k=2014$.
Найдите наименьшее натуральное $n$ такое, что существует хорошая последовательность $a_0, a_1, \ldots $ действительных чисел, для которой $a_n=2014$. ( Wang Wei Hua )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть $n$ — натуральное число. Даны $2n$ различных прямых на плоскости, среди которых нет двух параллельных. Некоторые $n$ из этих $2n$ прямых покрашены синим, а оставшиеся $n$ прямых покрашены красным. Через $\mathcal B$ обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной синей прямой, а через $\mathcal R$ обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной красной прямой. Докажите, что существует окружность, которая имеет с множеством $\mathcal B$ ровно $2n-1$ общих точек и с множеством $\mathcal R$ тоже имеет ровно $2n-1$ общих точек. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите все последовательности $a_0, a_1, a_2, \ldots $, состоящие из натуральных чисел, такие что $a_0 \geqslant 2015$ и при всех натуральных $n\geqslant 1$ выполняются следующие условия:
(i) $a_{n+2}$ делится на $a_n$;
(ii) $|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$, где $s_{n+1} = a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\ldots +(-1)^{n+1}a_0.$ ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)
результаты