1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, старшая лига


Задача №1.  Докажите, что уравнение $x^5+31=y^2$ не имеет решения в целых числах.
комментарий/решение
Задача №2.  Дано действительное число $r$ такое, что для некоторой последовательности $\{a_n\}$ положительных действительных чисел неравенство $$a_1+a_2+\dots+a_{m+1}\leq ra_m$$ выполняется для всех натуральных чисел $m$. Докажите, что $r\geq 4$.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида, т.е. $SA=SB=SC$ и $AB=BC=AC$. Найдите геометрическое место точек $D$ ($D\ne S$) пространства, удовлетворяющих уравнению $$|\cos\delta_A-2\cos\delta_B-2\cos\delta_C|=3,$$ где угол $\delta_X=\angle XSD$ для каждого $X\in\{A, B, C\}$.
комментарий/решение
Задача №4.  Точка $X$ внутри выпуклого четырехугольника называется наблюдаемой из стороны $YZ$ этого четырехугольника, если основание перпендикуляра из $X$ на прямую $YZ$ принадлежит замкнутому отрезку $[YZ]$. Точка внутри выпуклого четырехугольника называется $k$- точкой , если она наблюдаема в точности из $k$ сторон четырехугольника (например, каждая точка внутри квадрата является 4-точкой). Докажите, что если внутри выпуклого четырехугольника существует 1-точка, то там существует и $k$-точка для каждого $k\in \{2, 3, 4\}$.
комментарий/решение
Задача №5.  Для любых положительных действительных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ докажите неравенство $\dfrac{c}{{a + 2b}} + \dfrac{d}{{b + 2c}} + \dfrac{a}{{c + 2d}} + \dfrac{b}{{d + 2a}} \geq \dfrac{4}{3}.$
комментарий/решение(2)
Задача №6.  Найдите все простые числа $p$, $q$, не превосходящие 2005 и такие, что $p^2+8$ делится на $q$, а $q^2+8$ делится на $p$.
комментарий/решение
результаты