4-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2008 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Дөнес $ABCD$ төртбұрышының $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ қабырғаларының орталарын сәйкесінше $K$, $L$, $M$, $N$ деп белгіленген. $KM$ түзуі $AC$ және $BD$ диагоналдарын сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде, ал $LN$ түзуі $AC$ және $BD$ диагоналдарын сәйкесінше $R$ және $S$ нүктелерінде қияды. Егер $AP \cdot PC = BQ \cdot QD$ болса, онда $AR \cdot RC = BS \cdot SD$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №2. Коэффициенттері бүтін $P(x) $көпмүшелігін коэффициенттері бүтін (айнымалысы $x$ болатын) бірнеше көпмүшелікгердің кубтарының қосындысы ретінде өрнектеуге болатын болса, онда оны жақсы дейміз. Мысалы, $x^3 - 1$ және $9x^3 - 3x^2 + 3x +7 = (x-1)^3 + (2x)^3+2^3$ жақсы көпмүшеліктер болады.
a) $P(x) = 3x + 3x^7$ көпмүшелігі жақсы ма?
b) $P(x) = 3x + 3x^7 + 3x^{2008}$ көпмүшелігі жақсы ма?
Жауаптарыңызды тиянақтаңыздар.
комментарий/решение

Есеп №3. $A = \{(a_1, \ldots, a_8) | \mbox{ әрбір } 1 \le i \le 8 \mbox{ үшін } a_i - \mbox{ бүтін және } 1\le a_i \le i +1\}$ тізбектер жиынын қарастырайық. Егер оның $X$ ішкі жиынының кез келген әртүрлі екі $(a_1, \ldots, a_8)$, $(b_1, \ldots, b_8)$ элементтері үшін $a_i \ne b_i$, болатындай кемінде үш $i$ индексі табылса, онда $X$ ішкі жиыныны сиретілген деп аталады. $A$ жиынының сиретілген ішкі жиынында ең көп дегенде қанша элемент болуы мүмкін?
комментарий/решение

Есеп №4. Әрбір натурал $n$ саны үшін $S(n)$ арқылы осы санның ондық жүйедегі жазылымындағы цифрлардың қосындысын белгілейік. $n = 2S(n)^3 + 8$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $n$ натурал сандарын тап.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Центрлері сәйкесінше $O_1$ және $O_2$ болатын, өзара қиылыспайтын $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $l$ түзуін сәйкесінше $A_1$ және $A_2$ нүктелерінде жанайды (шеңберлер $l$ түзуінің бір жағында жатыр). $A_1A_2$ кесіндісінің ортасын $K$ деп белгілейік. $KB_1$ және $KB_2$ түзулері $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерін сәйкесінше $B_1$ және $B_2$ нүктелерінде жанайтындай етіп $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерінен сәйкесінше $B_1$ және $B_2$ нүктелері алынған ($B_1$ нүктесі $A_1$ нүктесінен өзге, ал $B_2$ нүктесі $A_2$ нүктесінен өзге). $A_1B_1$ және $A_2B_2$ түзулері $L$ нүктесінде, ал $KL$ және $O_1O_2$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. $B_1$, $B_2$, $P$ және $L$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Егер оң нақты $a$, $b$ және $c$ сандары $abc =1$ теңдігін қанағаттандыратын болса, $\dfrac{1}{(a+b)b}+\dfrac{1}{(b+c)c}+\dfrac{1}{(c+a)a}\ge \dfrac{3}{2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелде.
комментарий/решение(7)

результаты