қазақша
русскийАзия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2011 жыл
Есеп №1. $a,b,c$ бүтін оң сандар болсын. $a^2 + b + c$, $b^2 + c + a$, $c^2 + a + b$ санадарының бәрі бір мезгілде бүтін сандардың квадраттары бола алмайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(11)
комментарий/решение(11)
Есеп №2. Жазықтықтан алынған $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ нүктелерінің ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайды. $\{1,2,3,4,5\}$ жиынының әртүрлі $i,j,k$ индекстерімен алынған ең кіші $\angle A_i A_j A_k$ бұрышының ең үлкен мүмкін мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында $\angle BAC = 30^{\circ}$. $B$ төбесінің ішкі және сыртқы бұрыштарының биссектрисалары $AC$ түзуін сәйкесінше $B_1$ және $B_2$ нүктелерінде, ал $C$ төбесінің ішкі және сыртқы бұрыштарының биссектрисалары $AB$ түзуін сәйкесінше $C_1$ және $C_2$ нүктелерінде қиып өтеді. Диаметрі $B_1B_2$ және $C_1C_2$ болатын шеңберлер $ABC$ үшбұрышының ішінде жататын $P$ нүктесінде қиылыссын дейік. $\angle BPC = 90^{\circ}$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $n$ бекітілген оң, тақ бүтін сан болсын. Координаттар жазықтығынан алынған әртүрлі $m+2$ нүкте (мұндағы $m$ -- теріс емес, бүтін сан) — $P_0, P_1, \dots, P_{m+1}$ — төмендегі үш шартты қанағаттандырады:
(1) $P_0 = (0,1)$, $P_{m+1} = (n+1, n)$ және әрбір $1 \le i \le m$ үшін $P_i$ нүктесінің $x-$ пен $y-$ координаттарының екеуі де $[1,n]$ интервалында жатқан бүтін сандар болады.
(2) Әрбір $0 \le i \le m$ үшін $P_{i}P_{i+1}$ түзуі, егер $i$ жұп болса, $Ox$ өсіне параллель, ал, егер $i$ тақ болса, $Oy$ өсіне параллель болады.
(3) Әрбір $0 \le i < j \le m$ пары үшін $P_{i}P_{i+1}$ и $P_{j}P_{j+1}$ кесінділерінің, ең көп дегенде, бір ғана ортақ нүктесі табылады. $m$ санының ең үлкен мүмкін мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(1)
(1) $P_0 = (0,1)$, $P_{m+1} = (n+1, n)$ және әрбір $1 \le i \le m$ үшін $P_i$ нүктесінің $x-$ пен $y-$ координаттарының екеуі де $[1,n]$ интервалында жатқан бүтін сандар болады.
(2) Әрбір $0 \le i \le m$ үшін $P_{i}P_{i+1}$ түзуі, егер $i$ жұп болса, $Ox$ өсіне параллель, ал, егер $i$ тақ болса, $Oy$ өсіне параллель болады.
(3) Әрбір $0 \le i < j \le m$ пары үшін $P_{i}P_{i+1}$ и $P_{j}P_{j+1}$ кесінділерінің, ең көп дегенде, бір ғана ортақ нүктесі табылады. $m$ санының ең үлкен мүмкін мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Төмендегі екі шартты қанағаттандыратын барлық $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын анықтаңдар (мұнда $\mathbb{R}$ арқылы нақты сандар жиыны белгіленген):
(1) Кез келген нақты $x$ үшін $f(x) < M$ болатын нақты $M$ саны табылады.
(2) Кез келген нақты $x,y$ үшін $ f(xf(y)) + y f(x) = xf(y) + f(xy)$ теңдігі орындалады.
комментарий/решение(1)
(1) Кез келген нақты $x$ үшін $f(x) < M$ болатын нақты $M$ саны табылады.
(2) Кез келген нақты $x,y$ үшін $ f(xf(y)) + y f(x) = xf(y) + f(xy)$ теңдігі орындалады.
комментарий/решение(1)