Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2009 год


Задача №1.  Рассмотрим следующую операцию на положительных действительных числах, написанных на доске: С доски стирается произвольное число, например $r$, а вместо него пишется пара положительных чисел $a$ и $b$, удовлетворяющих следующему условию $2{{r}^{2}}=ab$.
Предположим, что в начале на доске было написано одно положительное действительное число $r$, и после этого дозволенная операция применялась ${{k}^{2}}-1$ раз. Докажите, что среди полученных ${{k}^{2}}$ положительных действительных чисел (необязательно разных) найдется число, которое не превосходит $kr$.
комментарий/решение
Задача №2.  Пусть ${{a}_{1}},\ {{a}_{2}},\ {{a}_{3}},\ {{a}_{4}},\ {{a}_{5}}$ — действительные числа, удовлетворяющие следующим равенствам: $$ \frac{{{a}_{1}}}{{{k}^{2}}+1}+\frac{{{a}_{2}}}{{{k}^{2}}+2}+\frac{{{a}_{3}}}{{{k}^{2}}+3}+ \frac{{{a}_{4}}}{{{k}^{2}}+4}+\frac{{{a}_{5}}}{{{k}^{2}}+5}=\frac{1}{{{k}^{2}}} $$ при $k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$. Найдите значение выражения \[\frac{{{a_1}}}{{37}} + \frac{{{a_2}}}{{38}} + \frac{{{a_3}}}{{39}} + \frac{{{a_4}}}{{40}} + \frac{{{a_5}}}{{41}}.\] (Представьте ответ в виде обыкновенной дроби).
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Пусть на плоскости находятся взаимно непересекающиеся, расположенные внешним образом три окружности ${{\Gamma }_{1}}$, ${{\Gamma }_{2}}$,${{\Gamma }_{3}}$. Для каждой точки $P$ плоскости, расположенной вне данных окружностей, построим шесть точек ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{B}_{2}}$, ${{A}_{3}}$, ${{B}_{3}}$ по следующему правилу: При всех $i=1,\ 2,\ 3$ точки ${{A}_{i}}$, ${{B}_{i}}$ являются различными точками окружности ${{\Gamma }_{i}}$ такие, что прямые $P{{A}_{i}}$ и $P{{B}_{i}}$ касаются окружности ${{\Gamma }_{i}}$. Назовем точку $P$ исключительной, если соответствующие ей прямые ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$, ${{A}_{2}}{{B}_{2}}$, ${{A}_{3}}{{B}_{3}}$ пересекаются в одной точке. Докажите, что все исключительные точки плоскости, если существуют, расположены на одной окружности.
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что для любого натурального числа $k$ существует арифметическая прогрессия $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}$, $\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}$, $\dots$, $\frac{{{a}_{k}}}{{{b}_{k}}}$ рациональных чисел, где ${{a}_{i}}$, ${{b}_{i}}$ — взаимно простые натуральные числа, при всех $i=1,\ 2,\ ...,\ k$, и все числа ${{a}_{1}}$, ${{b}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{b}_{2}}$, $\dots$, ${{a}_{k}}$, ${{b}_{k}}$ — различные.
комментарий/решение
Задача №5.  Ларри и Роб — два робота, которые едут в одном автомобиле из Арговы в Зилис. Роботы управляют автомобилем по следующему алгоритму: Ларри поворачивает влево на $90^\circ$ каждые $\ell$ километров, начиная от старта; а Роб поворачивает вправо на $90^\circ $ каждые $r$ километров, начиная от старта, причем $\ell$ и $r$ — взаимно простые натуральные числа. В случае, когда оба робота должны одновременно повернуть машину — автомобиль двигается без изменения направления. Предполагается, что поверхность плоская и неограниченная.
Пусть автомобиль стартует из Арговы в направлении к Зилис. При каких парах $(\ell, r )$ автомобиль гарантированно доедет до Зилиса, независимо от расстояния между этими городами?
комментарий/решение
результаты