Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2007 год


Задача №1.  Пусть $S$ является множеством девяти различных целых чисел, значения простых делителей которых не превосходят 3. Докажите, что $S$ содержит три различных целых числа, произведение которых является точным кубом.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть треугольник $ABC$ является остроугольным, где $\angle BAC=60^\circ$ и $AB>AC$. Пусть $I$ является центром вписанной окружности, а $H$ — точкой пересечения высот треугольника $ABC$. Докажите, что $2\angle AHI=3\angle ABC$.
комментарий/решение
Задача №3.  Рассмотрим $n$ кругов $C_1$, $C_2$, $\dots$, $C_n$ на плоскости таких, что при любом $1\leq i < n$ центр круга $C_i$ лежит на окружности круга $C_{i+1}$, а центр круга $C_n$ лежит на окружности круга $C_1$. Назовем весом такой расстановки $n$ дисков число пар $(i, j)$ для которых круг $C_i$ целиком содержит круг $C_j$. Найдите максимально возможное значение такого веса (функцию зависимости с аргументом $n$).
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть $x$, $y$ и $z$ — положительные действительные числа такие, что $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$. Докажите, что $$ \frac{{{x}^{2}}+yz}{\sqrt{2{{x}^{2}}(y+z)}}+\frac{{{y}^{2}}+zx}{\sqrt{2{{y}^{2}}(z+x)}}+ \frac{{{z}^{2}}+xy}{\sqrt{2{{z}^{2}}(x+y)}}\geq 1. $$
комментарий/решение
Задача №5.  Правильный $5 \times 5$ массив фонарей после повреждения стал работать следующим образом: при переключении выключателя одного из фонарей соседние фонари и сам переключаемый фонарь меняют свое состояние из включенного в выключенный, из выключенного — во включенный (соседними считаются ближайшие фонари, стоящие в одной строке или столбце). Первоначально все фонари выключены. После определенного количества переключений в точности один фонарь остался включенным. Найдите всевозможные позиции данного фонаря.
комментарий/решение
результаты