Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1999 год


Задача №1.  Найдите наименьшее $n$ такое, что не существует арифметической прогрессии из 1999 вещественных чисел, ровно $n$ членов которой целые.
комментарий/решение
Задача №2.  Последовательность $a_1$, $a_2$, $\dots$ удовлетворяет условию $a_{i + j} \leq a_i + a_j$. Докажите, что $$ {a_1} + \frac{{{a_2}}}{2} + \frac{{{a_3}}}{3} + \dots + \frac{{{a_n}}}{n} \geq {a_n}. $$
комментарий/решение
Задача №3.  Окружности $C_1$ и $C_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Их общая касательная, ближайшая к $P$, касается $C_1$ в точке $A$, а $C_2$ — в точке $B$. Касательная к $C_1$ в точке $P$ повторно пересекает $C_2$ в точке $C$. $R$ — точка пересечения прямых $AP$ и $BC$. Докажите, что окружность, описанная вокруг треугольника $PQR$ касается $BP$ и $BR$.
комментарий/решение
Задача №4.  Найдите все пары целых чисел $(a, b)$ для которых $a^2 + 4b$ и $b^2 + 4a$ — точные квадраты.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  На плоскости отмечено $2n + 1$ точка, никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре из которых не лежат на одной окружности. Окружность называется хорошей, если на ней лежит 3 отмеченных точки, и количество отмеченных точек, лежащих внутри окружности равно количеству точек, лежащих вне ее. Докажите, что четность количества хороших окружностей совпадает с четностью числа $n$.
комментарий/решение