қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 10 класс
Задача №1. Найдите сумму коэффициентов многочлена $f(x)$, если известно, что $f(x) = (x^3 - 4x^2 + 4)^{2004} \cdot (2x - 3)^{2005}.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В четырехугольнике $ABCD$, где $AB$ и $CD$ непараллельны, точка $E$ — середина $AB$, $F$ — середина $CD$. Докажите, что середины отрезков $AF$, $CE$, $BF$ и $DE$ являются вершинами параллелограмма.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Докажите, что из $n+1$ натуральных чисел, меньших $2n$, всегда можно выбрать два, отношение которых есть степень числа 2.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Найдите все простые числа $p$ такие, что числа $2p+1$ и $4p+1$ являются также простыми.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Каждая диагональ выпуклого пятиугольника отсекает от него треугольник,
площадь которого равна 1. Найдите площадь пятиугольника.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Для любых натуральных чисел $m, n >1$ докажите неравенство $$
\frac{1}
{{\root m \of {1 + n} }} + \frac{1}
{{\root n \of {1 + m} }} > 1.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)