Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1996 год


Задача №1.  Стороны четырехугольника $ABCD$ равны. $MN$ и $PQ$ — отрезки перпендикулярные диагонали $BD$, концы которых лежат на разных сторонах четырехугольника, а расстояние между ними $d > BD/2$. Докажите, что периметр шестиугольника $AMNCQP$ зависит только от расстояния между отрезками $MN$ и $PQ$ и не зависит от положения отрезков.
комментарий/решение
Задача №2.  $m$ и $n$ — два натуральных числа и $n \leq m$. Докажите, что $$ {2^n} \leq \frac{{\left( {m + n} \right)!}}{{\left( {m - n} \right)!}} \leq {\left( {{m^2} + m} \right)^n}. $$
комментарий/решение
Задача №3.  $P_1$, $P_2$, $P_3,$ $P_4$ — четыре точки на окружности. $I_1$ — центр окружности, вписанной в треугольник $P_2P_3P_4$, $I_2$ — центр окружности, вписанной в $P_1P_3P_4$. Аналогично определяются точки $I_3$ и $I_4$. Докажите, что точки $I_1$, $I_2$, $I_3$, $I_4$ являются вершинами прямоугольника.
комментарий/решение
Задача №4.  Национальный семейный совет хочет пригласить $n$ супружеских пар для формирования 17 дискуссионных групп на следующих условиях:
(1) все члены каждой группы должны быть одинакового пола;
(2) количество человек в любых двух группах должно различаться не более чем на 1;
(3) в каждой группе должен быть хотя бы один человек;
(4) каждый человек должен быть в какой-нибудь группе.
Найдите все такие $n \leq 1996$, при которых такое разбиение возможно.
комментарий/решение
Задача №5.  $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника. Докажите, что $\sqrt {a + b - c} + \sqrt {b + c - a} + \sqrt {c + a - b} \leq \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c. $
комментарий/решение(1)