Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1995 год


Задача №1.  Найдите все последовательности вещественных чисел $a_1, a_2, \dots , a_{1995}$ удовлетворяющие неравенствам: $2\sqrt{a_n-(n-1)}\geq a_{n+1}-(n-1) $ и $2\sqrt{a_{1995}-1994} \geq a_1+1.$
комментарий/решение
Задача №2.  $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ — последовательность целых чисел из отрезка $[2, 1995]$ такая, что
(1) любые два члена последовательности взаимно просты;
(2) каждый член последовательности является либо простым числом, либо произведением различных простых чисел.
Найдите наименьшее $n$, такое, что в последовательности $a_i$ наверняка будет по крайней мере одно простое число.
комментарий/решение
Задача №3.  $PQRS$ — описанный четырехугольник, стороны которого $PQ$ и $RS$ не параллельны. Рассмотрим семейство окружностей проходящих через точки $P$ и $Q$ и семейство окружностей, проходящих через точки $R$ и $S$. Определите геометрическое место точек касания окружностей этих двух семейств.
комментарий/решение
Задача №4.  $C$ — окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$, $S$ — некоторая точка внутри нее. $AA'$ и $BB'$ — две перпендикулярные хорды проходящие через $S$. Рассмотрим прямоугольники $SAMB$, $SBN'A'$, $SA'M'B'$ и $SB'NA$. Найдите геометрическое место точек $M$, $N'$, $M'$, $N$, когда точка $A$ описывает всю окружность $C$.
комментарий/решение
Задача №5.  Найдите такое минимальное $k$, что существует отображение $f$ множества целых чисел $\mathbb{Z}$ в множество $1$, $2$, $\dots$, $k$ со свойством $f(x) \neq f(y)$ при $|x - y| \in 5, 7, 12.$
комментарий/решение