Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1992 год


Задача №1.  Стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Пусть $p$ — полупериметр треугольника $\left( {p = \dfrac{{a + b + c}}{2}} \right)$. Строят треугольник со сторонами $p - a$, $p - b$ и $p - c$ (если возможно), затем тоже самое делают с полученным треугольником и так далее. Найдите все треугольники, для которых данный процесс может продолжаться бесконечно.
комментарий/решение
Задача №2.  Окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ касаются окружности с центром $O$ в точках $A_1$ и $A_2$, и касаются друг друга в точке $A$. Докажите, что прямые $AO$, $A_1O_1$, $A_2O_2$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $n$ — целое число большее 3. Выберем три различных числа из множества $\{1, 2, \dots, n\}$. Используя только эти три числа (каждое по одному разу), а также операции сложения, умножения и расставления скобок образуем все возможные арифметические выражения.
(1) Докажите, что если все три выбранных числа больше $n/2$, то значения всех составленных выражений различны.
(2) Пусть $p$ — простое число не превосходящее $\sqrt{n}$. Докажите, что число способов выбрать три числа таких, что наименьшее из них равно $p$ и значения не всех полученных выражений различны, в точности равно количеству натуральных делителей числа $p-1$.
комментарий/решение
Задача №4.  Найдите все пары чисел $(h,s)$ такие что для любых $h$ прямых, параллельных данной прямой $l$, и s прямых таких, что
(1) ни одна из них не параллельна $l$;
2) никакие две из них не параллельны;
(3) никакие три из $h + s$ прямых не пересекаются в одной точке
количество областей на которые эти $h + s$ прямых делят плоскость равно 1992.
комментарий/решение
Задача №5.  Найдите последовательность максимальной длины, состоящую из ненулевых целых чисел, такую, что сумма любых семи членов последовательности подряд была бы положительна, а любых одиннадцати членов подряд — отрицательна.
комментарий/решение