XIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2014 год


Задача №1.  Какое наибольшее число монет можно расставить в клетках таблицы $n \times n$ (в каждой клетке таблицы может находиться не более одной монеты) так, чтобы любая монета не была одновременно ниже и правее чем любая другая? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности $\omega$, описанной около остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$, пересекаются в точке $S$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Прямая $HA$ пересекает прямые $CM$ и $CS$ в точках $M_a$ и $S_a$ соответственно. Аналогично определены точки $M_b$ и $S_b$. Докажите, что $M_a S_b$ и $M_b S_a$ — высоты треугольника $M_a M_b H$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Для неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$ выполнено равенство $a^3 + b^3 + c^3 + abc = 4$. Докажите, что $a^3 b + b^3 c + c^3 a \le 3$. ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Пусть $\mathbf{N}$ — множество всех натуральных чисел. Определите все функции $f: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ такие, что для любых натуральных чисел $m,~n$ выполнены неравенства $2f(mn) \ge f(m^2 + n^2) - f(m)^2 - f(n)^2 \ge 2f(m)f(n).$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
результаты